\require{AMSmath}

De isoperimetrische ongelijkheid

Beste meneer/mevrouw,
In het boekje van O. Bottema gaat hij van O=1/2ad sin (A) + ¹/₂ bc sin(C)
en b² + c² - 2 bc cos (C) = a² + d² - 2 ad cos (A)

naar
16 O² = 4a²d² + 4b²c² - (a²+d² - b² - c²)² -8 abcd cos (A+C)

Kunt u mij hier verder mee helpen?
Vriendelijke Groet,
Anne Barneveld

Anne
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 14 oktober 2014

Antwoord

Schrijf $16O^2$ uit:
$$
16O^2=4(a^2d^2\sin^2A+b^2c^2\sin^2C+2abcd\sin A\sin C)
$$
dan gebruik je $\sin^2x+\cos^2x=1$ om $\sin^2A$ te vervangen door $1-\cos^2A$, en $\sin^2C$ door $1-\cos^2C$. Dan komt er
$$
16O^2=4(a^2d^2+b^2c^2-(a^2d^2\cos^2A+b^2c^2\cos C)+2abcd\sin A\sin C)
$$
De toepassing van de cosinusregel kun je omschrijven als
$$
2(ad\cos A-bc\cos C)=a^2+d^2-(b^2+c^2)
$$
Ten slotte, met behulp van
$$
(ad\cos A-bc\cos C)^2=a^2d^2\cos^2A+b^2c^2\cos C-2abcd\cos A\cos C
$$
volgt dat
$$
a^2d^2\cos^2A+b^2c^2\cos C = \frac14(a^2+d^2-b^2-c^2)^2+2abcd\cos A\cos C
$$
Als je dat netjes invult en de optelformule voor de cosinus gebruikt krijg je de derde formule.

kphart
woensdag 15 oktober 2014

©2001-2024 WisFaq