Ik heb een vraag over een som in mijn boek. Het gaat over een driekeuzetoets met 20 vragen waarbij er in totaal bijna 3,5 miljard mogelijkheden zijn. De vraag is nu hoeveel mogelijkheden er zijn als ze er 12 met zekerheid weet en de rest gokt. Ik was al een heel eind, maar ik vroeg me af of het aantal mogelijkheden hier afhankelijk is van in welke volgorde je ze invult. Ook zou ik graag dan het antwoord willen weten en hoe jullie er aan gekomen zijn. Bovendien vroeg ik me ook af hoe je kan berekenen hoeveel vragen iemand gegokt heeft als je alleen weet hoeveel mogelijkheden er zijn. Dit is namelijk ook een subvraag: Ze moet zoveel gokken dat er ruim een half miljoen mogelijkheden zijn. Hoe vaak moet ze dan gokken?
Ik hoop heel erg dat jullie mijn vragen kunnen beantwoorden want ik heb morgen een toets.
Anita
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 29 juli 2014
Antwoord
Beste Anita,
We gaan een poging doen.
We hebben 20 vragen met elk 3 keuzes. laten we zeggen a, b, c. Het totaal aantal mogelijkheden is dan $ 3^{20}$
1)
De persoon die het proefwerk maakt, vult de 12 vragen met zekerheid in. Dit kan die persoon dus maar op 1 manier doen. De overige 8 vragen gokt ze maar een beetje en hiervoor zijn dus $ 3^8 $ mogelijkheden.
2) Laten we nu eens aannemen dat ze een deel gokt en een deel zeker weet. Voor de vragen die ze zeker weet is er maar 1 manier om ze in te vullen, namelijk het juiste antwoord. Die vragen vult ze even in. Nu blijkt dat ze nog een half miljoen mogelijkheden over heeft (iets meer). Het aantal mogelijkheden waarop ze nu moet gaan gokken is:$ 3^n $ Waarbij n het aantal vragen is die ze gokt.
Er moet dus gelden: $ 3^n = 500.000 $
$ \begin{array}{l} ^3 \log (500.000) = n \\ \frac{{LN(500.000)}}{{LN(3)}} = n \\ n \approx 11,94 \Rightarrow n = 12 \\ \end{array} $
12 vragen heeft ze dus gegokt, en hiermee wist ze dus 8 vragen met zekerheid.
Laten we nu uit de grap eens zeggen dat haar cijfer gelijk is aan het percentage goede antwoorden, welk cijfer mag ze dan verwachten?
8 vragen wist ze met zekerheid, dus die had ze goed. Omdat het 3 keuze vragen zijn is de verwachting dat ze 1/3 van de gegokte vragen ook goed zal hebben. In dit geval dus 4. Dit betekent dat naar verwachting ze 12 vragen goed zal hebben. Dit is 60% dus een 6.
Kortom, naar verwachting zal ze het hebben gehaald :-)
