Zij x een randpunt, x is een element van de rand van de ruimte x. Ik schrijf dit als: x in RX.
Laat zien dat er gladde niet-negative functie f bestaat op een open omgeving U van x, zodat f(z)=0 d.e.s.d.a. z in (RA)U (rand van U), en als z in (RA)U, dan df_z(n(z))$>$0. Met n de normaalvector.
Ik heb twee oplossingen bestudeerd en deze verschillen op een belangrijk punt van elkaar.
Bewijs We definieren H^k={x in R^k : x_k $\ge$0}. Zij pi:H^k-$>$R gegeven door pi(x_1,x_2,...,x_k)=x_k. Dan is pi$\ge$0 overal. En er geldt pi(z)=0 alleen als z op de rand van H^k. VRAAG1. Moet het niet zijn d.e.s.d.a.?
Laat g:U-$>$V een locale parametrizatie zijn van z in X. En f:U-$>$R is gedefinieerd door f=pi o g (o betekent hier compositie). VRAAG2. Is het g of g^(-1)? In het ene bewijs zie ik f en in een ander bewijs de inverse van f.
Als z op de rand van U dan
Df_z(-n(z))=Dpi_(g(z)) o Dg_z(-n(z))
Dg(-n(z)) wijst naar binnen in H^k omdat voor iedere kromme k(t) in X met k(0)=z en k'(0)=-n(z) hebben we dat
dg(-n(z))=lim(t-$>$0) g(k(t))-g(z)/t,
en we hebben dat g(k(t)) in H^k\(RA)H^k en g(z) op (RA)H^k.
Ik begrijp alleen het laatste stuk van het bewijs niet helemaal.
Omdat dg_z(-n(z)) naar binnen wijst in H^k geldt dat df_z(-n(z))$>$0.
In het andere bewijs staat er: Omdat pi lineair is, Dpi_g(z)=pi, dus pi(Dg_z(-n(z)))$>$0 omdat Dg_z(-n(z)) in (RA)H^k. Het komt waarschijnlijk op hetzelfde neer maar ik begrijp het niet goed.
Vriendelijk groeten,
Viky
viky
Iets anders - maandag 30 juni 2014
Antwoord
Vraag 1: dat is een kwestie van taalgebruik; sommige mensen bedoelen met "alleen als $z$ op de rand ligt" hetzelfde als "dan en slechts dan als $z$ op de rand ligt". Vraag 2: dat hangt af van wat je met $U$ en $V$ bedoelt; er staat niet waar die twee verzamelingen liggen. Uit je verhaal maak ik op dat $U$ in $X$ ligt, want het moet een omgeving van $x$ zijn, dan zal $V$ in $H^k$ moeten liggen en dus kun je alleen de compositie $\pi\circ g^{-1}$ opschrijven. Je zegt niet waar $\mathbf{n}$ de normaalvector van is; van de rand? In dat geval geldt in $H^k$ dat $\mathbf{n}(z)$ gelijk is aan $(0,\ldots,0,n(z))$, met $n(z)$>$0$ en dus $\pi(\mathbf{n}(z))=n(z)$. In beide bewijzen wordt inderdaad min of meer impliciet gebruikt dat $\pi$ in elk punt zijn eigen afgeleide is. De normaal $\mathbf{m}(x)$ van de rand in $U$ is dan $Dg^{-1}(\mathbf{n}(z))$ (eigenlijk per definitie) en met de kettingregel volgt dan dat $Df(\mathbf{m}(x))=n(g(x))$>$0$.
