\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 73495

Re: Re: Eigenschap loodrechte volgens analytische meetkunde

Mijn vraag was : kan u ook bewijzen dat x₁y₁z₁+x₂y₂z₂+x₃y₃z₃=0
geldt zonder het dot product te gebruiken

jan ro
Iets anders - vrijdag 27 juni 2014

Antwoord

Beste Jan,

Wanneer 2 vectoren loodrecht op elkander staan, dan kun je de stelling van pythagoras toepassen.

We nemen 2 willekeurige vectoren in
$
\Re ^3
$

$
\begin{array}{l}
u = \left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
b \\
c \\
\end{array}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,{\kern 1pt} v = \left( {\begin{array}{*{20}c}
d \\
e \\
f \\
\end{array}} \right) \\
(u - v) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{a - d} \\
{b - e} \\
{c - f} \\
\end{array}} \right) \\
\end{array}
$

Voor de lengte van de afzonderlijke vectoren geldt dan.
$
\begin{array}{l}
\left| u \right|^2 = a^2 + b^2 + c^2 \\
\left| v \right|^2 = d^2 + e^2 + f^2 \\
\left| {u - v} \right|^2 = (a - d)^2 + (b - e)^2 + (c - f)^2 \\
\end{array}
$

Als $
u \bot v \Rightarrow \left| u \right|^2 + \left| v \right|^2 = \left| {u - v} \right|^2
$

Dit uitwerken geeft
$
\begin{array}{l}
- 2ad - 2eb - 2cf = 0 \\
ad + eb + cf = 0 \\
\end{array}
$

Bedoel je zoiets?

DvL
vrijdag 27 juni 2014

©2001-2024 WisFaq