Goedemiddag, ik moet een vraag oplossen, maar ik weet niet hoe ik dit moet doen, zou iemand mij kunnen helpen
Vraag: Gegeven is een ellips met vergelijking x2/a2 + y2/b2 =1 met een van de brandpunten F1(c,0) en excentriciteit e verder is ook de rechte d met vergelijking x = a2/c gegeven beschouw een willekeurig punt P van de ellips. Toon aan dat |PF1|/d(P,d) = e. men noemt de rechte d de richtlijn van de ellips bij het brandpunt F1.
Alvast bedankt.
simon
3de graad ASO - woensdag 21 mei 2014
Antwoord
De brandpunten noemen we voor het gemak A(c,0) en B(-c,0). Met P(x,y) vind je: PA2 = (x - c)2 + y en PB2 = (x + c)2 + y2 Hieruit volgt PB2 - PA2 = 4cx Per definitie geldt: PB + PA = 2a Omdat PB2 - PA2 = (PB + PA)(PB - PA) vinden we nu dat PB - PA = 2cx/a
Je hebt nu twee vergelijkingen, één voor PB - PA en één voor PB + PA. De methode van optelling/aftrekking geeft direct PA = a - cx/a en PB = a + cx/a
PA = a - cx/a = (c/a).(a2/c - x)
Het stukje tussen het tweede stel haakjes is nu precies de afstand van het punt P tot de lijn d met vergelijking x = a2/c
Conclusie: PA = (c/a).d(P,d) en daar c/a = e ben je er.
