\require{AMSmath}

Hyperbolische integraal

Integreer de functie

sqrt(x^2 +a^2) op partiële wijze ...

niet op de irrationele wijze , maar met partiële integratie

kan iemand me soms helpen ?
alvast bedankt

jan
3de graad ASO - dinsdag 4 februari 2003

Antwoord

Hoi,

Ik veronderstel dat je hyperbolische functies kent: sh(x) en ch(x). Je kan ze definiëren als sh(x)=(e^x-e^-x)/2 en ch(x)=(e^x+e^-x)/2. Net als bij sin(x) en cos(x) heb je hier een grondeigenschap: ch²(x)-sh²(x)=1. Je rekent dit makkelijk na.
Je rekent ook na dat ch'(x)=sh(x) en dat sh'(x)=ch(x).

Je integrand schreeuwt gewoon om deze substitutie: x=|a|.sh(t) met tÎ. Dan hebben we:
Ö(x²+a²)=Ö(a².sh²(t)+a²)=|a|.ch(t). We hebben ook: dx=|a|.ch(t).dt.
De integrand wordt dus: a².ch²(t). Met ch(t)=(e^t+e^-t)/2 kan je dit dan uitrekenen. Een andere manier is om hier partiële integratie toe te passen:

I=
Int(a².ch²(t)dt)=
a².Int(ch(t)d(sh(t)))=
a².[ch(t).sh(t)-Int(sh(t)d(ch(t)))]=
a².[ch(t).sh(t)-Int(sh²(t)dt)]=
a².[ch(t).sh(t)-Int((ch²(t)-1)dt)]=
a².[ch(t).sh(t)+t-Int(ch²(t)dt)]=
a².(ch(t).sh(t)+t)-I
Zodat
I=a².(ch(t).sh(t)+t)/2+c

Je rekent na dat d/dt(I)=a².ch²(t).

We kozen t zodat x=|a|.sh(t).
We hebben dus: sh(t)=x/|a|, ch(t)=Ö(1+sh²(t))=(a²+x²)/|a| en t=ash(x/|a|).
De integraal is dus:
I=
a².(ch(t).sh(t)+t)/2+c=
a².((a²+x²)/|a|.x/|a|+ash(x/|a|))/2+c=
(x.(a²+x²).+a².ash(x/|a|))/2+c

Als je verveeld zit met die ash(x/|a|), dan kan je uit sh(t)=y=(e^t-e^-t)/2 narekenen dat t=ln(y+(1+y²)). Dit betekent dat ash(x/|a|)=ln(x/|a|+(a²+x²)/|a|)=ln(x+(a²+x²))-ln(|a|). Dit laatste constante kunnen we laten absorberen in de integratieconstante. Je krijgt dan uiteindelijk:
I=(x.(a²+x²).+a².ln(x+(a²+x²)))/2+c. Je zou nu nog moeten narekenen dat d/dx(I)=(a²+x²)...

Groetjes,
Johan

andros
woensdag 5 februari 2003

©2001-2024 WisFaq