\require{AMSmath}

Abelse groep

Ik peins en google me suf maar ik kom er niet uit. De vraag is waarom voor elk element in een Abelse groep geldt dat x²=e? Waarbij 'e' voor het eenheidselement staat.
Ik heb wel kunnen vinden dat als x²=e geldt dat dan de groep Abels is, maar niet andersom.

De weg die ik geprobeerd heb is door aan te nemen dat er een element b bestaat ongelijk aan a waarvoor geldt dat ab=e. Maar ik draai in cirkeltjes.

Elke hint is welkom!

Maarte
Iets anders - zondag 22 december 2013

Antwoord

De reden ligt voor de hand: het is niet zo. De groep $\mathbb Z$ der gehele getallen, met optelling, is Abels maar geen enkel element (behalve $0$ natuurlijk) is zijn eigen inverse.
Dit is dus typisch een implicatie die maar één kant op gaat: als elk element zijn eigen inverse is dan is de groep Abels, maar niet andersom.
Een tip: maak een lijst van groepen met hun eigenschappen (en ook eigenschappen die ze niet hebben) en kijk in dit soort gevallen in die lijst om te zien of je niet een tegenvoorbeeld hebt.

kphart
zondag 22 december 2013

©2001-2024 WisFaq