We zijn met een praktische opdracht van wiskunde bezig, waarmee we te maken hebben met het cobb-douglas model. We zouden hier graag wat meer (algemene) informatie over willen hebben, om toe te voegen aan ons werkstuk.
Alvast bedankt,
Mariska, Ilona en Diana.
Ilona
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 30 januari 2003
Antwoord
Ik gebruik voor de Cobb-Douglass functie de volgende notatie:
Y=A.La.Kb
Nu, het is al een heel oud model (de basis ervoor werd gemaakt door Malthus in het begin van de 19de eeuw en werd later door Cobb en Douglass verfijnd) en wordt in de praktijk niet meer gebruikt. Maar het is wel zo dat de kernidee erachter wel gebruikt wordt in de hedendaagse modellen. Het Cobb-Douglass model werd voornamelijk gebruikt om de productie van een individuele firma voor te stellen en in mindere mate om de wijzigingen in de ganse economie te kunnen voorspellen.
De reden waarom er vandaag nog steeds over de Cobb-Douglassproductiefunctie wordt gesproken komt doordat er wiskundig gezien iets heel leuk aan te vangen is met de functie. Als we de partiële afgeleiden nemen naar beide variabelen (K en L), kunnen we er economisch gezien ook iets over zeggen (de partieel afgeleiden noemen we het marginaal product). Een partieel afgeleide is trouwens ongeveer hetzelfde als een gewone afgeleide, alleen gaan we maar 1 variabele afleiden en de andere laten we gewoon met rust. We krijgen dan:
Deze partiele afgeleiden (marginaal product) hebben een economische betekenis. Het geeft weer met hoeveel de productie wijzigt bij een superkleine wijziging van respectievelijk L en K. Nu men spreekt van stijgende schaalvoordelen wanneer bvb L verdubbelt, de productie meer dan zou verdubbelen. Er zijn gelijke schaalvoordelen wanneer L en de productie in gelijke verhouding wijzigen en dalende schaalvoordelen wanneer de productie minder dan verdubbelt. Hetzelfde kan gezegd worden bij het marginaal product van K. De hoeveelheid hoeft trouwens niet te stijgen, ze kan ook dalen. Zoals je hierboven wel zult zien zijn de partieel afgeleiden niet handig om mee te werken omdat er geen variabele wegvalt (het blijft een ingewikkelde formule en je kan niet op zicht zeggen wat er juist gebeurd bij een wijziging). Dat lossen we zodadelijk op door het anders te bekijken.
Hierboven werd meteen ook het gemiddeld product (AP) berekend voor beide variabelen. Dat is gewoon de functie gedeeld door de variabelen.
Zoals je kan zien verschilt het marginaal product en het gemiddeld product enkel op alfa en bèta na. Dit zijn dan weer juist de machten in de Cobb-Douglassproductiefunctie.
Men heeft dit dan verder bekeken en men kwam tot het volgende (de afleiding laat ik achterwege omdat die misschien verwarrend kan zijn voor jullie). Er zijn gelijke schaalvoordelen wanneer alfa + beta gelijk zijn aan 1. Stijgende wanneer groter en dalende wanneer kleiner dan 1.
Ik hoop dat jullie hier iets mee zijn, want dit is van groot nut voor de economie wegens haar eenvoudige uitkomst en de achterliggende betekenis, en er toch nog iets van begrijpen. Alles steunt wat op (ingewikkelde) economische principes die niet zo duidelijk zullen zijn zonder achtergrond. Eigenlijk is er economisch gezien veel meer over te zeggen dan wiskundig.
Als er nog vragen of onduidelijkheden zijn, zal ik die wel verder verklaren via e-mail.
