\require{AMSmath}

Hoeveel diagonalen heeft een honderdhoek?

Hoeveel diagonalen heeft een 100-hoek?

mimi
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - vrijdag 23 augustus 2013

Antwoord

Hoi Mimi,

Een diagonaal verbind een hoekpunt met een ander ( niet aanliggend) hoekpunt. Stel ik neem een willekeurig hoekpunt p. Ik kan p niet met zichzelf verbinden en ook niet met de 2 aanliggende hoekpunten (buren). Stel ik neem een n hoek. Dit betekent dat ik een figuur neem met n hoekpunten.

Vanuit punt p kan ik hem dus verbinden met (n-3) punten ( niet met zichzelf, niet met zijn buren). Dus vanuit punt p bezien heb ik (n-3) diagonalen. Echter geldt dit voor elk hoekpunt. Dus heb ik n(n-3) diagonalen. Nu komt er echter 1 detail.

Vanuit een willekeurig hoekpunt p heb ik n-3 diagonalen. Waaronder bijvoorbeeld van p naar a. vanuit punt a heb ik ook n-3 diagonalen waaronder a naar p. Maar de diagonaal van a-p is dezelfde als van p-a. Kortom: ik tel op deze wijze elke diagonaal dubbel.

Welnu als we alles dubbel tellen dan kunnen we alles toch ook weer delen door 2. Dus bij een willekeurige n hoek heb ik (n(n-3))/2 diagonalen.

Voor de n hoek waar n is 100, dus jouw voorbeeld:
100·97·$\frac{1}{2}$=4850
Voorwaarde bij de formule is wel dat n$>$2 waarom?

Misschien ook leuk om te bedenken dat n(n-3) voor n$>$2 blijkbaar altijd een even getal is. Als je je een keer verveelt is het misschien leuk om dat eens proberen te bewijzen. Als je dit wil proberen en je komt er toch niet uit, dan roept u maar.

Kun je zo verder?

mvg Dvl

DvL
vrijdag 23 augustus 2013

©2001-2024 WisFaq