Opgave: Volgens opgaven van de meteorologische dienst van Australi¨e is de ochtendtemperatuur in Perth (gemeten om 9.00 uur) te benaderen door een sinusoide met een periode van 12 maanden. De hoogste ochtendtemperatuur is 23,8C en wordt bereikt rond 2 februari. De gemiddelde ochtendtemperatuur is 18,2C.
c)Stel een formule op die een benadering geeft van de ochtendtemperatuur in Perth als functie van het dagnummer (1 januari = dag 1, 2 februari = dag 33, ga uit van een jaar van 365 dagen).
Antwoord: We zoeken een formule van de vorm f (t) = A·sin(B·(t + C)) + D. A is de amplitude, D is de evenwichtsstand. Deze zijn hier A = 5,6 en D = 18,2. De periode is gelijk aan 2pi/B, dus B = 2/periode = 2pi/365. Op dag 33 bereikt de sinusoide zijn maximum, dus voor t = 33 geldt sin (B · (t + C)) = sin 1/2pi. Dit geeft 2pi/365·(33 + C) = 1/2pi , 33 + C = 365/4, C = 365/4 − 33 = 58,25. De formule is dus f(t)= 5,6 sin(2pi/365(t + 58,25)) + 18,2.
Er mag ook een cosinusformule gegeven worden. Dan geldt cos (B · (t + C)) = cos 0. Dit geeft 33 + C = 0 , C = −33 en f (t) = 5,6 cos (2pi/365 (t − 33))+ 18,2.
Ik begrijp niet hoe er bij de volgende opgave tot het antwoord is gekomen en dan met name tot de beslissing gelijk te stellen dat de formule de vorm f(t) = A.sin(B.(t+C))+D zou moeten hebben. Waarom (t+C) en niet (t-C)? Hoe is af te leiden dat de grafiek naar links verschoven moet worden, gezien het +-teken.
Wordt die translatie gewoon standaard op + gezet en wordt dan bij vergelijking met sin 1/2pi of cos 0 pas duidelijk of het een + blijft of een - wordt zoals bij cos?
Als ik in de sinus -58,25 invoer, dan kom ik denk ik aan het begin van de sinus. Zit ik dan ergens nov.-dec.? Is dan de (originele-functie) sinusoïde t.o.v. januari links naar nov.-dec. verschoven over t-as?
Ik zou wat verheldering en uitleg erg waarden!
David
Cursist vavo - vrijdag 26 juli 2013
Antwoord
Dag David, Je zou best de algemene formule kunnen schrijven als f(t)=A*sin(B*(t-c))+d, maar dan is c de tijd waarop de grafiek steigend door de evenwichtswaarde gaat. Dat is hier -58,25 en dan wordt de formule f(t)=A*sin(B*(t+58,25))+d, . Het hangt er dus maar net vanaf hoe je c berekend. Zelf verkies ik bovenstaande algemene formule met t-c omdat je de standaard sinusgrafiek verschuift en dat doe je door in de standaardformule de t te vervangen door t-c. Hoop dat dit duidelijk is. Groeten, Lieke.
