\require{AMSmath}

Extreme waarden

Gevraagd werd om de grafiek van f(x)=x²ˇcos(x) te tekenen.
Hierna moest ik twee krommen tekenen die de grafiek oneindig vaak raken. Dit ging nog wel met de 'squeeze theorem'
-1$\Leftarrow$cos(x)$\Leftarrow$1 $\Rightarrow$ -x²$\Leftarrow$x²ˇcos(x)$\Leftarrow$1 Dus x² en -x²

Maar nu komt het...
-Waarom raken de grafieken elkaar oneindig vaak?
En hoe kan ik dit aantonen met afgeleiden in mijn verklaring?

Ik probeer de extreme waarden van d/dx(x²ˇcos(x)) te vinden, want deze liggen op beide parabolen.
Ik krijg dan:
d/dx(x²ˇcos(x))= 0 $\Rightarrow$
2xcos(x) - x²sin(x)=0 $\Rightarrow$
(nu met behulp van een CAS)
2cos(x) - xsin(x) = 0  x = 0

En verder kom ik niet. Het lukt me niet om 2cos(x) - xsin(x) = 0 op te lossen.
Ik kom tot:
2cos(x)=xsin(x)
cos(x)=(x/2)sin(x)
(x/2)tan(x)= 1
(dat laatste is bijna een wanhoopspoging omdat ik het totaal niet zie...)
Ik twijfel of ik wel op de juiste weg ben.
Wanneer iemand mij zou willen helpen...mijn dank is groot!

Nick
Student hbo - woensdag 10 juli 2013

Antwoord

Hallo Nick,

Je veronderstelling dat de extreme waarden van f(x) op de grafieken van -x² en x² liggen, is niet juist. Immers: bij alle extreme waarden van f(x) is de helling van f(x) nul, de helling van de parabolen is alleen nul in het punt (0,0)). De raakpunten liggen steeds 'ergens' op de flanken van de cosinus-achtige grafiek van f(x).

Je kunt wel beredeneren dat er oneindig veel raakpunten zijn. Steeds waar cos(x)=1, hebben de grafieken van f(x) en x² een gemeenschappelijk punt. Omdat f(x) nooit groter kan zijn dan x², kan zo'n gemeenschappelijk punt alleen een raakpunt zijn en geen snijpunt. Je vindt dus raakpunten bij x=k×2$\pi$.
Eenzelfde redenering voor cos(x)=-1: hier vind je raakpunten van de grafieken van f(x) met -x². Deze raakpunten vind je dus bij x=$\pi$+k×2$\pi$.

GHvD
woensdag 10 juli 2013

©2001-2024 WisFaq