Hoe kan ik ker(A) berekenen van de volgende matrix? A={{1,0,2},{0,1,1},{1,2,3}} Ik moet na gaan dat Ax=b voor iedere b E R3 een uniek bepaalde oplossing is. Wat houd dat precies in? Waar staat Ax=b voor?
Jos
Student universiteit - dinsdag 28 januari 2003
Antwoord
Hoi,
Het gaat hier om een lineaire afbeelding f met karakteristieke matrix A. De kern van f bestaat uit alle vectoren vÎ3 waarvoor f(v)=0 of A.v=0. Dit betekent dat ker(f)=ker(A)={0}.
Je gaat na dat det(A)=-1 en het stelsel A.v=0 dus precies één oplossing heeft, namelijk 0.
A.x=b stelt een vergelijking voor. Als b={b1,b2,b3} en x={x1,x2,x3}, dan is A.x=b een korte notatie voor: 1.x1+0.x2+2.x3=b1 0.x1+1.x2+1.x3=b2 1.x1+2.x2+3.x3=b3
Je moet dus bewijzen dat dit stelsel precies één oplossing heeft voor elke mogelijke b. Welnu, dit volgt ook uit het feit dat det(A)<>0, zodat A-1 bestaat. De oplossing is dan: x=A-1.b. Je moet dus A-1 berekenen voor deze waarde van A. Hoe dit gaat, vind je in elk handboek over lineaire algebra/matrixrekenen...
3 waarvoor f(v)=0 of A.v=0. Dit betekent dat ker(f)=ker(A)={0}. 