Een nieuw elektronisch onderdeel is geïnstalleerd en negen reserve-onderdelen zijn aanwezig. Elk onderdeel heeft een exponentieel verdeelde levensduur T, met verwachte waarde van 100 dagen. Wat is de verdeling van t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7,t8,t9,t10?
Dit is op te lossen met het gegeven dat (Mi(t))10 , omdat t1 t/m t10 onafhankelijk. De verdeling is dan een gamma verdeling met parameters 100 en 10.
Nu is mijn vraag of deze vraag ook op te lossen valt met het gegeven (als de stochasten onafhankelijk zijn) dat geldt fx1,x2,x3 t/m x10=fx1·fx2·fx3·t/m·fx10?
Je krijgt dan niet de verdeling van de gamma verdeling (100,10) Klopt dit wel?
Sara
Student hbo - donderdag 18 april 2013
Antwoord
Hoi Mi(t) staat voor de momentgenererende functie, in dit geval voor een exponentieel verdeelde variabele. Je kunt de moment genererende functie gebruiken om de verdeling te vinden van de som van een aantal stochasten (in dit geval 10 onafhankelijke exponentiele variabelen). Daarvoor neem je het product van de momentgenerende functies van die verschillende stochasten (vandaar Mi(t)10 omdat je 10 stochasten onafhankelijk en gelijk verdeeld zijn). Het is dan mogelijk om wiskundig te bewijzen dat Mi(t)10 gelijk is aan de momentgenererende functie van een gamma verdeling (of specifieker erlang verdeling), en dus is het gamma verdeeld. De kansdichtheid tot de macht 10 doen (wat jij doet) mag echter niet, en geeft dus andere resultaten. (andere operaties zoals optellen van de parameters mag ook (bijna) nooit, met als een van de uitzonderingen de normale verdeling) Rekenen met moment genererende functies is vrij lastig (ik heb het bij mijn minor op de universiteit gehad), en ik denk dat je dit niet hoeft te kunnen bewijzen. Daarom zal ik de uitwerking hiervan (de som van meerdere exp stochasten is gamma verdeeld) hier niet geven. Ik denk dat je alleen moet onthouden dat de som van meerdere exp stochasten gamma verdeeld is, en dat je het bewijs verder niet hoeft te kennen. (als je het graag wilt, kan ik eventueel toch het bewijs mbv momentgenererende functies geven, laat me dit dan weten) Groeten, Bart
