\require{AMSmath}

Baansnelheid herleiden dmv gonio

Een vraag van mijn wiskunde SE ging over een beweging van punt.

De beweging van punt P in het Oxy-vlak wordt gegeven door:
x = 3·sin(t)
y = 2·cos(t)

0 $\le$ t $\le$ 2$\pi$

De baansnelheid van P kun je berekenen met de formule v=v(4+5·cos²(t))

Toon aan: v=v(4+5(cost)²)

Ik ben begonnen met het maken maar ik kom er maar niet uit

v=v((3cos²(t))+(-2sin²(t)))
Als eerste heb ik de kwadraat weggehaald en voor het gemak kwadrateer ik v zodat die vreselijke wortel weg is.

v²=9+6cos(t)+cos²t+4-4sin(t)+sin²(t)
v²=cos²(t)+sin²(t)+6cos(t)-4sin(t)+13
Er geldt: cos²(t)+sin²(t)=1. Dus:
v²=6cos(t)-4sin(t)+14
v²=6cos(t)+4sin(-t)+14

Verder dan dit ben ik niet gekomen. Hoe moet ik dit afmaken? Of gaat het vanaf het begin al fout? Alvast bedankt voor de hulp!

Mi.Che
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 1 april 2013

Antwoord

Ik zou denken dat het zo wel gaat:

$
\begin{array}{l}
x = 3\sin (t)\,\,en\,\,y = 2\cos (t) \\
x' = 3\cos (t)\,\,en\,\,y' = - 2\sin (t) \\
v = \sqrt {\left( {3\cos (t)} \right)^2 + \left( { - 2\sin (t)} \right)^2 } \\
v = \sqrt {9\cos ^2 (t) + 4\sin ^2 (t)} \\
v = \sqrt {9\cos ^2 (t) + 4\left( {1 - \cos ^2 (t)} \right)} \\
v = \sqrt {9\cos ^2 (t) + 4 - 4\cos ^2 (t)} \\
v = \sqrt {5\cos ^2 (t) + 4} \\
\end{array}
$

Bedenk daarbij dat (3cos(t))²=9cos²(t) en verder niet, om maar 's een voorbeeld te geven. Je notatie is ook niet helemaal helder, vind ik.

Misschien dacht je aan (3+cos(t))². Dat is ook leuk maar iets heel anders.

Zou het zo lukken?

WvR
maandag 1 april 2013

©2001-2024 WisFaq