\require{AMSmath}

Cramer-Von-Mises test statistics

Hallo,

Ik had een vraag over de Cramer-Von Mises test statistic
Deze is gedefinieerd als
C_n = integral (F^{^}_n(t) - F₀(t))² dF₀(t).

Ik moet laten zien dat er geldt voor C_n;

nC_n= ¹/_12n + sum(from i=1 to n) (U_(i) - ^(2i-1)/_2n)²

where U_(i) is the order statistic U_(i)=F₀(X_(i))

De samples {X_i}_i=1^n komen uit een onbekende verdeling F₀ en
F^{^}_n(t) = 1/n sum(from i=1 to n) 1{X_i $\le$ t}.
U_(i) zijn geordende random variabelen van een uniforme verdeling [0,1].

Tot nu toe heb ik;

nC_n = n integral (F^{^}_n(t)-F₀(t))² dF₀(t) = n integral
(F^{^}_n(X_(i))-F₀(X_(i)))^2dF₀(X_(i)) = n integral (1/n sum(from i=1
to n) 1{X_(i) $\le$ t} - U_(i))² dU_(i)

Op dit punt loop ik vast en weet ik niet precies hoe ik verder moet.

Ik denk dat er gebruikt moet worden;
F^{^}_n(X_(i)) = ^2i-1/_2n

en de eigenschap

sum(from i=1 to n)(2i-1)² = ⁴ⁿ³/₃-ⁿ/₃

Alvast heel erg bedankt voor de hulp!

Alice
Student universiteit - woensdag 27 februari 2013

Antwoord

Je kunt een antwoord vinden in de bijlage.

Zie bijlage

kn
zaterdag 2 maart 2013

©2001-2024 WisFaq