Ik heb het volgende Sturm-Liuoville probleem (u=u(x))
u_xx+b(x)u_x+c(x)u+lambda*d(x)u=0 (1)
en u(0)=u(1)=0.
met b(x)= -a/m, met a en m constanten. De functies c(x) en d(x) zijn ook bekend maar ze zijn voor het probleem niet nodig.
Ik kan (1) in de volgende vorm schrijven
(d/dx)[p(x)*(d/dx)u]+q(x)u+lambda*w(x)u=0 (2)
met p(x)=e^{ INT[b(x’)]dx’ }, de bovengrens van de integraal is x, de ondergrens wordt niet gegeven, en q(x)=p(x)c(x) en w(x)=p(x)d(x).
Ik wil graag (2) m.b.v. Liouville transformatie
t=t(x)=INT[(p(y))^(-1/2)]dy, y loopt van 0 tot x, (3)
v(t)=u(x(t))*[p(x(t))]^(1/4) (4)
schrijven als
v_tt(t)+Q(t)v(t)=lambda*v(t), t in [0,n], v(0)=v(n)=0
Hiertoe moet ik eerst p(x)=e^{ INT[b(x’)]dx’ } berekenen. Dit levert
p(x)=e^[(-a/m)*x]
vraag1. Ik begrijp niet wat ik als ondergrens moet nemen.
Als ik het goed begrijp moet ik vervolgends (3) en (4) uitwerken, dit levert
t=t(x)=INT^{p(y)^(-1/2)}dy, y van 0 tot x,
dus t=t(x)=(2m/a)*[e^((a/2m)x)-1]
en v(t)=u(x(t))*{e^[(-a/m)x(t)]}^(1/4)} (5)
Kan dit nog verder uitgewerkt worden? Ik weet niet of ik het goed begrijp maar kan ik nu uit (5) afleiden dat ik (1) met {e^[(-a/m)x(t)]}^(1/4) vermenigvuldigen moet, en dat dan (4) oplevert?
Ik begrijp ook niet goed wat ik moet doen met t=t(x). Het uiteindelijk antwoord van het vraagstuk wordt als volgt gegeven: Het oorspronkelijk probleem (1) wordt d.m.v. Liouville transformatie v(x)= e^[(-a/2m)x] * u(x) (6)
getransformeerd tot de gewenste vorm. Ik begrijp niet hoe (6) is afgeleid als ik kijk naar de stappen die leiden tot (5). Kunnen jullie mij misschien hiermee helpen?
Vriendelijke groeten en dank,
Viky
Viky
Iets anders - woensdag 21 november 2012
Antwoord
Viky, Wat hebben we: p(x)=exp(A(x)) met A'(x)=b(x), dt/dx=p(x)^-1/2 en v(t)= = u(x)[p(x)1/4.Nu is (dv/dt)dt/dx=(dv/dt)[p(x)]^-1/2=1/4up'p^-3/4+u'p^1/4.Nu nog een keer differ:(d2v/dt2)p^-1-1/2(dv/dt)p'p^-3/2= afgeleide rechterlid. Nu dv/dt invullen en fatsoeneren geeft:d2v/dt2=-(5/16)(p')2/p maalv(t)+ +1/4p''v(t)-q(x)v(t)-lw(x)v(t).
