\require{AMSmath}

Kwadraatvrij

Hoi wisfaq

Stel dat ¹/₄ - a²b een geheel getal is. Gegeven dat b kwadraatvrij is en niet 1, hebben we a=n+¹/₂. Hoe komen ze hieraan? Dat a geen geheel getal kan zijn is duidelijk..

dankjewel

Job
Student hbo - dinsdag 25 september 2012

Antwoord

¹/₄-a²b is geheel betekent dat je kunt schrijven ¹/₄-a²b=k
Omdat k best negatief mag zijn kun je dit schrijven als a²b=k+¹/₄
Vermenigvuldigen met 4 levert op:
4a²b=4k+1
(2a)²b=4k+1
Uit de rest van je verhaal blijkt dat b in ieder geval geheel moet zijn.
Maar dan moet (2a)² ook geheel zijn.
Het product van twee gehele getallen kan alleen gelijk zijn aan 1 modulo 4 als, of
beide 1 mod 4 zijn
of
beide 3 mod 4.
(2a)² kan niet gelijk zijn aan 3 mod 4, dus (2a)²=1 mod 4.
Dit kan alleen als 2a=1 mod 4 of 2a=3 mod 4.
Dus 2a=4m+1 of 2a=4m+3
Dus a=2m+¹/₂ of a=2m+1+¹/₂
Samen genomen lever dit a=n+¹/₂.

Overigens heb ik nergens gebruikt dat b kwadraat vrij en niet 1 is.
Alleen heb ik aangenomen dat b geheel is.
Dat b niet noodzakelijkerwijs kwadraat vrij of ongelijk aan 1 moet zijn blijkt b.v. uit het voorbeeld:
a=¹/₂ en b=1:
¹/₄-a²b is dan gelijk aan ¹/₄-¹/₄=0 en dat is geheel.
Wel is het noodzakelijk dat b gelijk is aan 1 mod 4, oftewel dat b=4t+1, met t geheel.

hk
vrijdag 28 september 2012

©2001-2024 WisFaq