\require{AMSmath}

Cirkelsegment van 1/3 cirkeloppervlak

ik zou graag in formule vorm willen zien de afstand van het middelpunt van een cirkel loodrecht op de koorde willen weten van een cirkelsegment die 1/3 van een cirkel oppervlak waarbij ik alleen de straal van de cirkel in hoef te vullen

Martin
Iets anders - dinsdag 11 september 2012

Antwoord

Beste Martin,

Voor een cirkel met straal $r$ is de oppervlakte $A$ van een cirkelsegment waarvan de koorde op een afstand $x$ van het middelpunt ligt, gelijk aan:
$$A=r^2 \cos^{-1}\!\left(\frac{x}{r}\right)-x\sqrt{r^2-x^2}$$De volledige cirkel heeft natuurlijk oppervlakte $\pi r^2$ dus je zoekt de waarde van $x$ waarvoor de oppervlakte $A$ van het cirkelsegment gelijk is aan $\pi r^2/3$: precies een derde van de totale oppervlakte. De vergelijking wordt dan:
$$\frac{1}{3}\pi r^2=r^2 \cos^{-1}\!\left(\frac{x}{r}\right)-x\sqrt{r^2-x^2}$$Hierin kan je beide leden delen door $r^2$ en een beetje herschrijven levert:
$$\frac{1}{3}\pi= \cos^{-1}\!\left(\frac{x}{r}\right)-\frac{x}{r}\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}$$Je kan dit zien als een vergelijking in $x/r$, de verhouding van de gezochte afstand $x$ tot de straal $r$.
Je kan de vergelijking niet expliciet oplossen naar $x$ of $x/r$, maar numeriek (of grafisch) oplossen levert $x/r = 0.26493208460...$ waaruit volgt dat:$$x \approx 0.265r$$
Met die formule kan je misschien verder?

mvg,
Tom

Zie Mathworld: Circular Segment

td
woensdag 12 september 2012

©2001-2024 WisFaq