\require{AMSmath}

Stelsel diffvergelijkingen niet lineair

Hallo,
ik zit met het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen, en heb even geen idee hoe ik dit exact kan gaan oplossen:

x₁'(t) = (-x₁(t)x₂(t) )/ (1+x₁)
x₂'(t) = (x₁(t)x₂(t) )/ (1+x₁) - cx₂(t)
x₃'(t) = cx₂(t)
(Hierbij is c een constante groter dan 0.)

Heeft iemand een hint waarmee ik kan beginnen?

Wiskun
Student universiteit - maandag 11 juni 2012

Antwoord

Eén mogelijkheid is de tweede om te schrijven tot $x_2'=-x_1'-cx_2$ en deze lineaire differentiaalvergelijking eerst op te lossen in termen van $x_1'$: er komt dan $x_2(t)=(k-\int_0^t x_1'(\tau)e^{c\tau}d\tau)e^{-ct}$. Dit kun je in de eerste vergelijking stoppen, waarna, na wat werk, het volgende overhoudt: $e^{ct}\cdot\frac{1+x_1}{x_1}x_1'=k-\int_0^t x_1'(\tau)e^{c\tau}d\tau$. Als je links en rechts differentieert en $e^{ct}$ wegstreept hou je een tweede-orde differentiaalvergelijking voor $x_1$ over. Daar is misschien nog wat mee te doen.

kphart
maandag 25 juni 2012

©2001-2024 WisFaq