\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 5654

Re: Kettingregel bij primitiveren

maar bij primitiver mbv. substitutie heb je ook aan het einde ¹/₄·1⁴dus dan heb je x⁴+x³+1,5x²+x+0,25+c is dit dan hetzzelfde omdat c toch een willekeurig getal is, of moet je nog -1 doen? zodat de functie ¹/₄((x+1)⁴-1) is?

ikke
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - vrijdag 1 juni 2012

Antwoord

Hallo,

Het vorige antwoord ging ervan uit dat $\int (x+1)^3 dx$ 'makkelijker' te bepalen is dan $\int (x+1)(2x+2+4) dx$. En $\int (x+1)^3 dx = \int (x+1)(x+1)^2 dx = \int (x+1)(x^2 + 2x + 1) dx$, vandaar dat ik de vraag toentertijd in twijfel had getrokken.
Men kan de primitieve van $\int (x+1)(x^2 + 2x + 1) dx$ echter middels substitutie bepalen. Stel $u(x) = x^2 + 2x + 1$ dan is $\frac{du}{dx} = 2x + 2$ en dus $du = (2x + 2)dx$ en dus $\frac{1}{2}du = (x+1)dx$.
De oorspronkelijke integraal gaat dan dus over naar $\int \frac{1}{2}u du = \frac{1}{2} \int u du = \frac{1}{4}u^2 + c = \frac{1}{4} (x^2 + 2x + 1)^2$ + c.
De rol die de constante "+1" speelt in de tweede factor bij $\int (x+1)(x^2 + 2x + 1) dx$ is van ondergeschikt belang, deze valt weg bij differentiatie.

Dus $\int (x+1)(x^2 + 2x + d) dx = \frac{1}{4} (x^2 + 2x + d)^2$ + c, dit kun je d.m.v. differentiëren van ¼(x² + 2x + d)² + c aantonen (dit is gelijk aan (x+1)(x² + 2x + d)).

Mochten er nog onduidelijkheden zijn, laat het weten.

Groetjes,
Davy

Davy
zaterdag 2 juni 2012

©2001-2024 WisFaq