Ik ben de laatste tijd veel bezig met de rigoreuze definitie van de afgeleide en de wiskundige achtergrond ervan. Nu probeer ik het grafisch intuitief voor te stellen maar dat lukt me niet.
Mijn vraag is, de afgeleide van x2 is 2x op elke x en er wordt gezegd dat deze gelijk is aan de steilheid van de raaklijn. Maar de steilheid van elk punt verandert toch telkens bij een parabool? Dus ik kan 't me niet voorstellen dat de steilheid op elk punt 2x is? Als ik namelijk ook de 2 functies f(x) en f'(x) plot dan gaat de lijn 2x dwars door de parabool heen en lijkt het of ze niks met elkaar te maken hebben. Volgens mijn kijk ik er niet goed naar dus hoop dat irmand mij het precieze verband kan uitleggen en waarom die afgeleide op elk punt nou 2x is als de helling van de parabool constant verandert. (naar mijn idee moet dan de afgeleide functie ook constant veranderen)
Dank voor een antwoord!
Rico
Student universiteit - donderdag 24 mei 2012
Antwoord
Hallo Rico,
Terecht merk je op dat de steilheid van een parabool telkens verandert. Dat doet de afgeleide functie f'(x)=2x ook: deze afgeleide geeft aan: bij x=1 is de steilheid 2, bij x=2 is de steilheid 4, bij x=3 is de steilheid 6 enz.
Je zegt dat je je niet kunt voorstellen dat de steilheid overal 2x is. Het lijkt erop dat je deze steilheid als constante ervaart, maar 2x is niet constant. Ter vergelijking bekijk ik even een lineaire functie: de afgeleide van f(x)=4x is 4. Deze constante 4 geeft aan dat de steilheid overal 4 is. Dat klopt: de grafiek van 4x is een rechte lijn, de steilheid is overal hetzelfde. Nu weer de grafiek van x2: hoe verder je naar rechts gaat, hoe groter de steilheid. De grafiek van f'(x)=2x komt ook steeds hoger te liggen, deze geeft dus ook aan dat de steilheid steeds groter wordt. Kijk ook eens bij negatieve waarden van x: hoe verder naar links, hoe sterker de grafiek van x2 daalt. Ook dit zie je weer aan de grafiek van f'(x)=2x: hoe verder naar links, hoe sterker negatief deze afgeleide is, wat aangeeft dat f(x)=x2 daar daalt. Klopt precies, dus!
