\require{AMSmath}

Quotiëntregel

Als voorbeeld neem ik de volgende functie

f(x)=$\Large\frac{2x+6}{\sqrt{x}}$

Je kan hem of op de quotient- of productregel manier oplossen. Wat is het verschil van de afgeleide van wortel x?

Bij de productregel weet ik dat hij -¹/₂ x^3/2 is

Is hij bij de qoutientregel 1/2$\sqrt{x}$^-1/2?

Oftewel verschillen de afgeleiden als je hem als product of qoutientregel schrijft?

Sjoerd
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 4 mei 2012

Antwoord

Er zijn meestal vele wegen die naar Rome leiden, inderdaad.

Uitdelen:

$
\large\begin{array}{l}
f(x) = \frac{{2x + 6}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + \frac{6}{{\sqrt x }} \\
f'(x) = \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{3}{{x\sqrt x }} = \frac{{x - 3}}{{x\sqrt x }} \\
\end{array}
$

Productregel:

$
\large\begin{array}{l}
f(x) = \frac{{2x + 6}}{{\sqrt x }} = (2x + 6) \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} \\
f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} + (2x + 6) \cdot - \frac{1}{{2x\sqrt x }} = \frac{2}{{\sqrt x }} - \frac{{x + 3}}{{x\sqrt x }} = \frac{{x - 3}}{{x\sqrt x }} \\
\end{array}
$

Quotiëntregel:

$
\large\begin{array}{l}
f(x) = \frac{{2x + 6}}{{\sqrt x }} \\
f'(x) = \frac{{2\sqrt x - \left( {2x + 6} \right) \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\left( {\sqrt x } \right)^2 }} = \frac{{2\sqrt x - \frac{{2x + 6}}{{2\sqrt x }}}}{x} = \frac{{2\sqrt x }}{x} - \frac{{x + 3}}{{x\sqrt x }} = \frac{2}{{\sqrt x }} - \frac{{x + 3}}{{x\sqrt x }} = \frac{{x - 3}}{{x\sqrt x }} \\
\end{array}
$

Maar er komt wel steeds hetzelfde uit.... Waarmee maar weer 's aangetoond dat het handig is om afspraken te maken. Onder één noemer zetten is een handige afspraak.

WvR
vrijdag 4 mei 2012

©2001-2024 WisFaq