1. Van de continue stochast X is gegeven dat P(Xx)=1-(1/x3), x1. De verwachtingswaarde van X is gelijk aan 3/2. De variantie van X is gelijk aan?
2. Zij N een Poisson proces met intensiteit µ = 2. Het aantal gebeurtenissen in interval [a, b) noteren we met N[a, b). Dan is P(N[0, 2) = 3, N[2, 3) = 0) gelijk aan?
Alvast bedankt!
Jeroen
Student universiteit - zaterdag 18 januari 2003
Antwoord
Vraag 1 X is een continue stochast over het domein x>=1 met verdeling p(x)=d/dx(1-1/x3)=3/x4.
We hebben: m=int(x.p(x),1.. ¥) en s2=int((x-m)2.p(x), 1.. ¥).
Je kan narekenen dat inderdaad m=3/2 (dit was blijkbaar een overbodig gegeven). Je rekent ook makkelijk na dat s2=int(x2.p(x), 1.. ¥)+m.(m-2). Nu raak je er wel uit…
Vraag 2 Het gaat om een Poisson-proces. De kans op k ‘successen’ is gegeven door p(k)=mk.e-m/k!, zodat: p(0)=e-m p(1)=m.e-m p(2)=m2.e-m/2 Een mogelijk voorbeeld zou zijn: het aantal drukfouten op een pagina. Gemiddeld zijn het er twee, de kansen op 0,1 en 2 fouten zijn gegeven.
De vraag is niet 100% duidelijk, maar een mogelijke interpretatie bestaat erin om een steekproef te nemen van 100 pagina’s en de aantallen fouten per pagina te tellen. Deze steekproef zou in de limiet (voor oneindig veel pagina’s) de Poisson-verdeling benaderen. Praktisch zullen de frequenties die verdeling benaderen.
Als het het proces n keer uitvoeren, dan hebben we volgende relatieve verwachtingen: E(N[0,2))=0.p(0)+1.p(1)= m.e-m E(N[2,3))=2.p(2)= m2.e-m
Absoluut zijn de verwachte waarden dan n keer groter. Het aantal hits binnen [0,2) zal bij een steekproef normaal verdeeld zijn rond de verwachte waarde. Je kan hiervoor een schatting maken van de s in functie van n. Je zou dan de kans kunnen berekenen dat N[0,2)=3 en dat N[2,3)=0. Het product van deze kansen is de gevraagde kans… Dit alles lijkt me iets te ingewikkeld om een juiste interpretatie te zijn…
Mocht je een beter idee hebben, laat dan maar weten…
x)=1-(1/x3), x
1. 