\require{AMSmath}

Zuurstofgehalte

Door een technische storing in de airconditionning van een groot gebouw neemt het zuurstofgehalte in de lucht tijdelijk af. De technische staf heeft het verloop van het zuurstofgehalte beschreven met de formule:

Z(t)=200(1-10/(t+10)+100/(t+10)²
Hierin is t de tijd in minuten,gerekend vanaf het moment dat de storing begon, en Z het aantal cm³ zuurstof per liter lucht op het tijdstip t.
Op t=0 is het zuurstofgehalte normaal.

a)Bereken Z(0) Schets de grafiek van Z(t) voor 0t100

Bij deze vraag kom ik op Z(0)=200

b)Op welk tijdstip is het zuurstofgehalte minimaal?

Ik zou het niet weten maar ik denk dat t dan oneindig moet worden omdat dan de breuken 10/(t+10) en 100/(t+10)²
minimaal worden ??

Maar het antwoord model geeft t=10 wat ik niet zo begrijp
c) De medische staf vindt een zuurstofgehalte van 80 procent van het normale niveau nog juist toelaatbaar.
Bereken gedurende hoeveel minuten het zuurstofgehalte ontoelaatbaar laag is
het antwoord model neemt eerst 80 procent van 200 en dat is 160 en zegt dat je met de Gr dan vind voor t=3,8 en t=26,2 maar ik vind het interesanter om deze vergelijking algebraisch op te lossen

ik kom uit op de vierkantsvergelijking 41t²+820t+1100

is dit goed?

bouddo
Leerling mbo - zondag 15 april 2012

Antwoord

Hallo,

Je antwoord op vraag a) is correct.

Je gedachte bij braag b) is onjuist: wanneer de breuken minimaal worden, betekent dit niet automatisch dat de functie in zijn geheel minimaal wordt. Er staat immers een min-teken voor de eerste breuk, dus deze term 'helpt' om een kleinere functiewaarde te krijgen.

Beter is het volgende:

Stel p = 10/(t+10). Je kunt Z(t) dan schrijven als:

Z(t) = 200(1 - p + p²), of meer in de standaard-vorm:
Z(t) = 200(p² - p + 1)

Dit is een kwadratische functie, je weet vast wel hoe je hiervan het minimum bepaalt.

c) Het is zeker interessanter om deze vergelijking algebaraïsch op te lossen. Jouw vierkantsvergelijking is echter geen vergelijking, er staat geen =-teken in dus er valt niets op te lossen. Wellicht bedoel je:

41t²+820t+1100 = 0

Ik weet niet hoe je hieraan komt, maar door invullen van t=3,8 en t=26,2 kan je zelf controleren dat deze vergelijking niet klopt.

In plaats daarvan los je op:
200(p² - p + 1) = 160
(p² - p + 1) = 0,8
p² - p + 0,2 = 0
100/(t+10)² - 10/(t+10) + 0,2 = 0

Links en rechts vermenigvuldigen met (t+10)²:

0,2(t+10)² -10(t+10) + 100 = 0

Haakjes wegwerken, ABC-formule en klaar.

GHvD
zondag 15 april 2012

©2001-2024 WisFaq