Kunt u mij enkele gevoelsmatige verklaringen geven voor de wet van Benford.
alvast bedankt
marc
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 14 januari 2003
Antwoord
Neem een willekeurige verzameling getallen. Bv alle getallen in de krant van vandaag. Ieder van die getallen heeft een begincijfer, waarbij we eventuele nullen over het hoofd zien ( begincijfer van 0,037 is 3 bijvoorbeeld) De wet van Benford zegt dan dat niet alle cijfers 1 t/m 9 even vaak voorkomen als begincijfer, maar dat 1 vaker voorkomt dan 2 en 2 weer vaker dan 3 enzovoort. De vraag is, hoe kun je aanvoelen dat dit zo is. We proberen dus niet een wetenschappelijk bewijs te geven.
Het verschijnsel doet zich voor bij verzamelingen getallen die behoorlijk gespreid liggen.
Een voorbeeld: Een superwinkel verkoopt van alles, zo gek kun je het niet bedenken of ze hebben het. Van gummetjes tot dure zeiljachten. Aan ieder artikel hangt een prijskaartje. V is de verzameling van alle bedragen op die prijskaartjes. Er zijn kleine getallen, bv 0,45 (Euro) en grote, bv 375.000 en van alles daartussen.
Neem nu eens twee getallen uit V die dicht bij elkaar liggen. Als dat twee kleine getallen zijn (een reep chocola en een kladblok) dan is het verschil ertussen ook klein. Bij twee grote getallen ( een BMW en een zeiljacht) zal het verschil ook een groot getal zijn; niet een paar Euro. Het gaat hier niet om de absolute verschillen maar om de relatieve verschillen. Niet de centen maar de procenten. Dat is de kern van het gevoelsmatige argument. Getallen liggen dicht bij elkaar als ze maar een paar procent verschillen.
Maak nu zelf eens een verzameling getallen die steeds een paar procent verschillen. Begin met een willekeurig getal bv 37 en maak met je rekenmachientje een rij getallen door steeds met 10 procent de prijs te verhogen. 37,00; 40,70; 44,77; 49,25; enz. Ga door tot je een bedrag krijgt dat 10 keer zo groot is als het getal waarmee je begon, of net iets meer. Je hebt dan ongeveer 25 getallen. Hoeveel van die getallen beginnen met een 1?
Doe het nu ook eens met een 5% ipv 10%. Of nog beter 1%. Hoe kleiner het percentage, hoe meer de verhouding tussen de aantallen getallen met de verschillende begincijfers kloppen met de theoretische verhoudingen volgens de wet van Benford. Je snapt ook dat het niet geeft met welk getal je begint.
In het boek 'Getaltheorie voor beginners' van Frits Beukers (ISBN 90-5041-049-9. Epsilon Uitgaven 1999) vind je een interessante discussie over de wet van Benford.
