\require{AMSmath}

Oppervlakte-integraal over halve bol met divergentie theorie

Hallo wisfaq,

Deze vraag heeft betrekking tot de divergentie theorie.
De halve bol is gedefinieerd als:
x²+y²+z²=1 z=0

F(x,y,z) = (y,-x,zÖ(1-x²-y²))

Nu moet ik de ∫∫F n dS berekenen.
De normaal n is naar boven gericht.

∫∫F n dS = ∫∫∫div F dV

ik weet dat
theta van 0 tot 2p gaat.
Phi van 0 tot half p gaat.
en Rho van 0 tot 1 gaat.

Uit mijn berekening komt voor Div F: Ö(1-x²-y²) uit.

x = rho * sin phi * cos theta
y = rho * sin phi * sin theta
z = rho * cos phi

vervolgens vul ik voor x en y in wat ik hierboven heb getypt.

∫∫∫ Ö(1-rho*sin²(phi))) * rho² * sin(phi) drho dphi dtheta

En nu loop ik vast :S

Klopt het trouwens wat ik aan het doen ben?

Zou er misschien een volledige uitwerking kunnen komen, zodat ik het kan begrijpen?

Alvast heel erg bedankt voor uw tijd.

Jess

Jess
Student universiteit - woensdag 26 oktober 2011

Antwoord

Hallo, Jessica.

Je bent tot nu redelijk goed bezig, dus je kunt het ook wel zelf voltooien.
Alleen moet er staan Ö(1-rho²sin²(phi)) ipv Ö(1-rho*sin²(phi))

En je vergeet misschien iets:

Als S de rand van V is, bestaat S niet alleen uit die halve bolschil, maar behoort tot S ook de cirkelschijf in het x,y-vlak met middelpunt (0,0,0) en straal 1.
Nu moet je in de divergentiestelling voor dit deel van S de normaal (0,0,-1) gebruiken, terwijl z=0.
Dus de oppervlakte-integraal over dit deel van S is 0.
Dan klopt het nog wat je aan het doen bent.

Nu moet je dus nog die volume-integraal uitrekenen.

Of is het misschien toch eenvoudiger om de oppervlakte-integraal rechtstreeks uit te rekenen?
De naar buiten gerichte oppervlakte-normaal is (x,y,z) en dan wordt het inproduct met F vrij eenvoudig ...

hr
vrijdag 28 oktober 2011

Re: Oppervlakte-integraal over halve bol met divergentie theorie

©2001-2024 WisFaq