Op school heb ik een vraag gekregen, maar ik weet echt niet hoe ik dit vraagstuk moet gaan oplossen. Zou iemand mij hierbij willen helpen?
De vraagstelling luidt als volgt:
De exponentiële spiraal is de vlakke kromme bepaald door de polaire vergelijking r = e^(theta). De kromme C is het deel van de spiraal waarvoor geldt 0 $\leq$ theta $\leq$ $\pi$ (het niet gestippelde deel van de kromme in figuur 1). Bepaal de lengte van C.
Aanwijzing: gebruik voor C de parametrizering r(theta) = (etheta·cos(theta), etheta·sin(theta).
Ik heb al heel lang naar deze som gekeken en proberen op te lossen, maar weet echt niet hoe ik het moet aanpakken Hopelijk kan iemand van jullie deze som uitleggen :)
Jess
Student universiteit - donderdag 20 oktober 2011
Antwoord
Beste Jess,
Wellicht heb je de formule gezien voor de lengte van een kromme met gegeven parametrisatie? Als de kromme gegeven is door (x(t),y(t)) voor t tussen a en b, dan wordt de lengte gegeven door de integraal voor t van a tot b van:
$\sqrt{ }$(x'(t)2+y'(t)2)
Hierin zijn x'(t) en y'(t) de afgeleiden van de componentfuncties x(t) en y(t). Pas deze formule toe met a = 0, b = $\pi$ en de reeds opgegeven parametrisatie van de exponentiële spiraal, namelijk:
x(t) = cos(t).et en y(t) = sin(t).et
Bepaal dus de afgeleiden, vervolgens de som van de kwadraten en uiteindelijk de vierkantswortel hiervan; dit zou je sterk moeten kunnen vereenvoudigen zodat de integraal gemakkelijk is.
Hopelijk kan iemand van jullie deze som uitleggen :)
