\require{AMSmath}

Minimale oppervlakte driehoeken

Goede dag,
Ik kan geen tekening weergeven maar dit is de situatie.
a en b zijn 2 rechten evenwijdig aan elkaar op 5 cm afstand van elkaar.
Door P, een punt van rechte b trek ik een rechte ,niet loodrecht op beide evenwijdige rechten a en b met snijpunt in C. Iets rechts van P trek ik vanuit een punt B op rechte b een rechte loodrecht naar een punt C op de rechte a. Ik benoem nu:
|PB|=x; S is snijpunt van rechte door P en C ;|AC|=3 cm
en |AB|=5 cm.Bepaal x zo dat de som van de driehoeken ASC en BSP minimaal is
Ik neem |SB|=y en |SA|=6-5-y en pas gelijkvormigheid toe.
x/y=3/(5-y) waaruit:y=5x/(3+x) (1)
Opp 2 driehoeken: 1/2((xy)+(3(5-y))(2)
f(x)= 1/2((x·5x)/(3+x)+3(5-5x/(3+x))
f(x)=1/2((5x²/(6+2x)=15-15/(3+x))
f(x)=((5x²+45+15x-15)/(6+2x)
f(x)=(5x²+15x+30)/(6+2x)
f'(x)= ((10x+15)(6+2x)-2(5x²+15x+30))/(6+2x)²
Uitwerken geeft:
f'(x)= (60x+20x²+90+30x-10x²-30x-60)/(6+2x)²
f'(x)= 10x²+60x+30=0
f'x)= x²+6x+3=0 levert -6+2√6/2 en -6-2√6/2
of x=-3+√6( negatieve oplossing! (andere oplossing sowieso negatief en te verwerpen. Maar de oplossig zou moeten zijn -3+√2~1,24..
Wat loopt er mis?
Groeten,
Rik

Rik Le
Iets anders - zondag 9 oktober 2011

Antwoord

De twee driehoeken zijn gelijkvormig en met BS = d (en dus AS = 5 - d) leidt dit tot de verhouding x : d = 3 : (5 - d).
Hieruit volgt d = 5x/(x+3)
De som van de oppervlakten van de driehoeken is dan ¹/₂.d.x + ¹/₂.3.(5-d) waarin d vervangen wordt door de bovenstaande uitdrukking in x.
Daarmee heb je de oppervlaktefunctie in de variabele x en de afgeleide zal dan wel het minimum opleveren.

MBL
dinsdag 11 oktober 2011

©2001-2024 WisFaq