Ik heb weer een vraag of eigenlijk vragen over het berekenen van functies en grafieken. Ik heb de opdrachten die ik niet snapte (hoe op te lossen) verzameld zodat ik het in 1 keer kan vragen.
1. Teken de grafiek van: g(x)=2x-3
2. Geef een vergelijking van de lijn door de punten (2,3) en (3,0)
3. Geef een vergelijking van de lijn door punt (3,6) en evenwijdig met de lijn 2x+3y=12
4. 2(3-x)+3(2x+5)=5x+18
5. 3x+2$<$5x+14
6. geven is de functie: f(x)=-x²+4x+5 Bereken de snijpunten van de grafiek met de x-as Bereken de coordinaten van het snijpunt met de y-as bereken de coordinaten van de top schets de grafiek van f (waarom staat er schets ?)
Jan
Leerling mbo - zondag 12 januari 2003
Antwoord
Hoi Jan,
1. De vraag hier is, hoe je zo'n grafiek tekent? Wel, eerst moet je weten dat die grafiek een eerstegraadsfunctie is, dit wil zeggen dat de grafiek een rechte is. Een rechte kun je tekenen a.d.h.v. twee punten (die twee punten verbind je en je trekt de lijn door). Je kiest dus twee punten, laten we zeggen x = 3/2 en x = 0, dan wordt f(3/2) = 0 en f(0) = -3 en je tekent die punten in het assenstelsel, verbind die punten en verleng dat lijnstuk.
2. Je bedoelt a.d.h.v. twee punten een functievoorschrift op te stellen? Je zegt 'de lijn' dus daarmee bedoelt men een eerstegraadsfunctie, die heeft standaard als functievoorschrift y = ax + b, waarbij de a staat voor richtingscoëfficiënt oftewel hellingsgetal. Wat is hier nu het hellingsgetal? Het hellingsgetal berekenen gaat via het hoogteverschil gedeeld door het lengteverschil. Het hoogteverschil is hier (3 - 0) want dat is de y-waarde van de bovenste punt (2,3) = 3 min de y-waarde van de laagste punt dat is 0 $\Rightarrow$ dus het hoogteverschil is 3 - 0 = 3. Het lengteverschil is de (x-waarde die hoort bij de hoogste y-waarde) - (de x-waarde behorende tot de laagste y-waarde), hier toegepast (2 - 3) = -1. Het hellingsgetal is het quotiënt van hoogte- en laagteverschil, dus 3/(-1) = -3. De 'a' hebben we dus al, dus tot nu toe hebben we de functie y = -3x + b. Om die b te berekenen vul je een willekeurige y-waarde in (hier uit de gegeven punten, kun je 't beste y = 0 nemen). Hier y = 0, de x-waarde is ook bekend namelijk x = 3, dan krijg je f(3) = (-3)·3 + b en dit alles moet 0 uitkomen. -9 + b = 0 $\Leftrightarrow$ b = 9. Als functievoorschrift krijg je y = -3x + 9. Ter controle f(2) = (-3)·2 + 9 = 3 en dat klopt met de gegevens.
3. Eerst zou ik de vergelijking herschrijven in functie van y. 2x + 3y = 12 $\Leftrightarrow$ 3y = 12 - 2x $\Leftrightarrow$ y = (12 - 2x)/3 $\Leftrightarrow$ y = 4 - 2/3x. Nu moet je een vergelijking opstellen evenwijdig met de functie y = 4 - 2/3x door het punt (3,6). Een vergelijking van de raaklijn opstellen gaat door de formule y - ywaarde = f'(x) (x - xwaarde). Hier toegepast y - 6 = f'(3) (x - 3) $\Leftrightarrow$ y - 6 = -2/3 (x - 3) $\Leftrightarrow$ y = -2/3x + 2 + 6 $\Leftrightarrow$ y = -2/3x + 8.
Een andere manier was om te kijken naar de verschuiving, de x-waarde in de oorspronkelijke functie -2x/3 + 4 was bekend, namelijk x = 3 aangezien de andere functie evenwijdig getekend moest worden in ditzelfde punt. De bijbehorende y-waarde was dan f(3)= 4 - (2·3)/3 = 4 - 2 = 2. Van de andere functie was het punt (3,6) bekend. Dus y = 6, t.o.v. de andere y-waarde is er een verschuiving van 4 t.o.v. de y-as. Dus de oorspronkelijke functie wordt dan ook met 4 opgeteld, zodat je i.p.v. -2x/3 + 4 ; -2x/3 + 4 + 4 krijgt en dit is uiteraard gelijk aan y = -2x/3 + 8.
4. Om de vergelijking 2(3 - x) + 3(2x + 5) = 5x + 18 op te lossen moet je de distributieve eigenschap toepassen. 2·3 - 2·x + 3·2x + 3·5 = 5x + 18 $\Leftrightarrow$ 6 - 2x + 6x + 15 = 5x + 18, nu alle onbekenden in het linkerlid en de bekenden in het rechter. -2x + 6x - 5x = 18 - 6 - 15 $\Leftrightarrow$ -x = -3 $\Leftrightarrow$ x = 3. Je kunt dit controleren door in de functie 3 in te vullen en dat moet links van het gelijkheidsteken hetzelfde uitkomen als rechts.
5. Nu zijn er twee manieren. Oftewel plot je beiden functies in één grafiek, bepaal je het snijpunt van de twee en bekijk je voor welke waarden de ene functie altijd kleiner is dan de andere (en tot welke waarde geldt dit?). En de andere manier is om het algebraïsch op te lossen, maar dan moet je wel een paar regeltjes van vergelijkingen kennen. 3x + 2 < 5x + 14 $\Leftrightarrow$ 3x - 5x < 14 - 2 $\Leftrightarrow$ -2x < 12 $\Leftrightarrow$ x > -6 want bij delen in een ongelijkheid draait het teken om. Dus ]-6, $\infty$>.
Via de plotmethode zie je dat beiden functies aan elkaar gelijk zijn in het punt x = -6, daar geldt dus niet dat de ene kleiner is dan de ander. Je ziet wel dat de rode grafiek kleiner is als de groene vanaf het punt -6 en dat dit geldt tot $\infty$ omdat het beiden lineaire functies zijn.
6. Snijpunten met de x-as wil niks anders zeggen als dat y = 0. M.a.w. je stelt de functie gelijk aan 0. Om de nulpunten van een tweedegraadsfunctie te berekenen moet je een beroep doen op de abc-formule (indien de functie niet ontbindbaar in factoren is). De standaard 2degraadsfunctie is y = ax2 + bx + c. De abc-formule laat je eerst de zogeheten discriminant berekenen, die discriminant = b2 - 4ac. Dan heb je 3 mogelijkheden : de discriminant is negatief. Dan zijn er geen nulpunten. De discriminant is 0, dan is er één nulpunt, te berekenen via x = -b/(2a). Of discriminant is positief. Dan zijn er twee nulpunten. Te berekenen via x1,2 = (-b ± √(discriminant)) / (2a). Met ± bedoel ik : je vult voor de eerste waarde een '+' in, en voor de tweede waarde een '-' (of in omgekeerde volgorde, kies maar).
Je zou ook de functie in de grafische rekenmachine gezet kunnen hebben, en dan via solve de nulpunten berekend hebben.
De coördina(a)t(en) van het snijpunt met de y-as berekenen. De y-as wordt gesneden daar waar x = 0. Dus je vult gewoon voor de x een 0 in en je hebt het snijpunt met de y-as. Hier -02 + 4·0 + 5 = 5, het snijpunt met de y-as = (0,5). Ook dit zou je opgelost kunnen hebben met solve.
De coördina(a)t(en) van de top berekenen. Een 2degraadsfunctie is een parabool, er zijn twee soorten parabolen : een berg- en een dalparabool. Een bergparabool heeft een negatieve a in de standaardfunctie -ax2 + bx + c, een dalparabool een positieve a. Hier is de a negatief, dus is er een bergparabool. Een bergparabool heeft een maximum, en een dalparabool heeft een minimum. Het minimum of maximum kun je via twee manieren berekenen, oftewel de functie differentiëren en de uitkomst gelijkstellen aan 0 (hier toegepast -2x + 4 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 2, bijbehorende y-waarde is f(2) = 9, dus coördinatenpaar (2,9) is maximum). Een tweede mogelijkheid is via tussenliggende waarde. Nulpunten gelegen tussen -1 en 5, het maximum ligt hier tussen dus (5 + (-1)) / 2 = 4/2 = 2 en bijbehorende y-waarde is dan f(2) = 9.
De grafiek heb ik hierboven al geplot. En dan je laatste vraag : waarom staat er 'schets' : je kunt een grafiek nooit 100% exact tekenen, want er zijn oneindig veel waardes op het door jou gekozen interval. Want beschouw het interval [0,1] maar eens, hier liggen oneindig veel getallen want [0,1] = [0;0,5>È[0,5;1] en tussen [0;0,5> liggen weer ontzettend veel deelintervallen, dus vandaar dat je een grafiek niet exact kunt tekenen : er zijn te veel waardes en die waardes komen niet mooi uit, er zijn decimale getallen tussen en zelfs irrationale getallen zoals √x die kun je niet exact tekenen, √2 bijvoorbeeld is namelijk irrationaal.
Hopelijk is het nu wat duidelijker, anders dan horen we 't wel,
