Hoe moet ik de volgend vergelijking oplossen? 90=c+c2
Marije
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - vrijdag 2 september 2011
Antwoord
Beste Marije,
Herleid de vergelijking naar de vorm "... = 0". Dan staat er $c^{2} + c - 90 = 0$. Beschouw die 'c' gewoon alsof het 'x' was. Nu kun je 2 oplosmethodes gebruiken, te weten m.b.v. de product-som-methode (= ontbinden in factoren) óf de abc-formule.
Bij de product-som-methode zoek je twee getallen die met elkaar vermenigvuldigd -90 opleveren en diezelfde twee getallen moeten als som 1 hebben (indien de vergelijking in het algemeen $ax^{2} + bx + c = 0$ was, moesten die 2 getallen als product $c$ hebben en als som $b$, dus het getal dat voor de 'x' staat). Want in onze vergelijking ($c^{2} + c - 90 = 0$) is het getal vòòr de $c$ eigenlijk '1'. Die 2 getallen zijn -9 en 10, want $-9 \cdot 10 = -90$ en $-9 + 10 = 1$. Je kunt het gedeelte links van het gelijksteken dus ontbinden als $(c-9)(c+10)=0$. Wanneer is een product 0? Als tenminste één van de factoren 0 is. Dus $c-9=0$ of $c+10=0$ en dat kan alleen als $c=9$ of $c=-10$.
De tweede methode is de abc-formule. Ik weet niet of je hiermee al bekend bent? Het voordeel van deze methode is dat deze altijd lukt, en bij de product-som-methode moet de vergelijking relatief eenvoudig zijn. Bij de abc-formule is het handig als je eerst de coëfficiënten (= de getallen voor de x'en, of in dit geval dus c'en) opschrijft en benoemt. Het getal dat voor de kwadratische term staat, noem je a. Het getal dat voor de lineaire term staat, noem je b en de constante term noem je c. Bij $c^{2} + c - 90 = 0$ is je $a=1$, $b=1$ en $c=-90$. De tweede stap is dat je $b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ berekent, dit noem je $D$ van discriminant. Dus $D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ en $a=1$, $b=1$ en $c=-90$ dus $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot -90 = 1 + 360 = 361$.
Er zijn in totaal 3 mogelijkheden voor $D$. $D$ kan negatief, nul of positief zijn. Indien $D$ negatief is, heeft de vergelijking geen (reële) oplossing. Indien $D = 0$ dan is er een oplossing en indien $D > 0$ dan zijn er 2 oplossingen. In ons geval is $D = 361$ dus groter dan 0, dus zijn er 2 oplossingen. De ene oplossing vind je m.b.v. de formule $\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ en de andere m.b.v. $\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$. In ons geval c1 = $\frac{-1 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1}$ en c2 = $\frac{-1 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1}$. Oftewel c1 = $\frac{-1 + 19}{2} = 9$ en c2 = $\frac{-1 - 19}{2} = -10$.
