\require{AMSmath}

Goniometrische vergelijkingen

Hallo allemaal, ik heb een vraagje over een som in mijn boek.
Ik moet de volgende goniometrische vergelijking oplossen:

2cos²(1/2x)=1
cos²(1/2x) = 1/2
cos(1/2x) = 1/2√2 en cos(1/2x) = -1/2√2
1/2x = 1/4$\pi$+ k·2$\pi$ en 1/2x = 3/4$\pi$ + k·2$\pi$ en
1/2x = -1/4$\pi$+ k ·2$\pi$ en 1/2x = -3/4$\pi$ + k·2$\pi$

Dan krijg je:
x = 1/2$\pi$ + k·4$\pi$
x = 1.5$\pi$+ k·4$\pi$
x = -1/2$\pi$ + k·4$\pi$
x = -1.5$\pi$+ k·4$\pi$

Mijn antwoordenboek geeft echter alleen de oplossing:
x = 1/2$\pi$ + k·$\pi$

Nu is mijn vraag: wat doe ik fout?
Kan iemand mij ook vertellen hoe ik op het antwoord uit het antwoordenboek kom?

Alvast bedankt voor jullie hulp!

Job
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 15 mei 2011

Antwoord

Het gaat hier om periodieke functies. Soms helpt het om de antwoorden uit te schrijven.

¹/₂$\pi$, 4¹/₂$\pi$, 8¹/₂$\pi$, ...
1¹/₂$\pi$, 5¹/₂$\pi$, 9¹/₂$\pi$, ...
3¹/₂$\pi$, 7¹/₂$\pi$, 11¹/₂$\pi$, ...
2¹/₂$\pi$, 6¹/₂$\pi$, 10¹/₂$\pi$, ...

Volgens mij komt dat dan neer op:

¹/₂$\pi$, 1¹/₂$\pi$, 2¹/₂$\pi$, 3¹/₂$\pi$, 4¹/₂$\pi$, 5¹/₂$\pi$, ...

Kortom: x=¹/₂$\pi$+k·$\pi$ met k$\in\mathbf{Z}$

Dus niet zo gek allemaal...

PS
In plaats van 'en' zou je 'of' moeten schrijven!

WvR
zondag 15 mei 2011

©2001-2024 WisFaq