In mijn wiskundehandboek staat de volgende oefening:
In een driehoek geldt: b2+c2=5 maal a2 - toon aan dat de zwaartelijnen uit B en C loodrecht op elkaar staan. Verder krijg je nog de coördinaat van A(0,0) van B(c,0) en van c(p,q).
Ik heb al verschillende methodes geprobeert maar kom niet tot het uiteindelijke bewijs. Alvast bedankt!
jef
2de graad ASO - woensdag 9 februari 2011
Antwoord
Voor de lengte van de zwaartelijnen gelden bekende formules, namelijk zb2 = 1/2a2 + 1/2c2 - 1/4b2 en uiteraard dan geheel analoog hieraan zc2 = 1/2a2 + 1/2b2 - 1/4c2. We noemen het snijpunt van de twee zwaartelijnen Z. Nu wil je bewijzen dat driehoek BZC rechthoekig is, ofwel dat BZ2 + CZ2 = a2. Daar BZ = 2/3.zb en CZ = 2/3.zc, wordt dit dan 4/9.zb2 + 4/9.zc2 = a2.
Als je aan de linkerkant de lengteformules voor de zwaartelijnen invult en hetgeen je dan krijgt herleid, krijg je 4/9.a2 + 1/9.b2 + 1/9.c2 Tezamen met het gegeven dat b2 + c2 = 5a2 levert dit dan precies het gestelde op, namelijk 4/9.a2 + 1/9.5a2 = a2, en het klopt dus!
toon aan dat de zwaartelijnen uit B en C loodrecht op elkaar staan. Verder krijg je nog de coördinaat van A(0,0) van B(c,0) en van c(p,q).