\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 64021

Re: Epsilon-delta definitie

Beste MBL,

Bedankt voor het antwoord.

Ik heb een vraag over een stap in de bewijsvoering. Misschien is het wel meer een algebraïsch probleem, maar ik kom er in ieder geval niet uit.

Het vraagstuk is:
(de symbolen werken niet zo goed, dus ik schrijf alles maar uit) NB: l=absoluutstreep):

Bewijs lim (x² + 3)=4.
x naar 1

Als oplossing wordt gegeven:

Begin met lim lx² + 3-4lepsilon
x naar 1
en los op voor 0lx-1ldelta.

Vereenvoudig lx² + 3-4lepsilontot lx² -1leps.
Ontbind (x² –1) in factoren:
lx+1l lx-1lepsilon

Nu komt wat ik niet begrijp:
Men vervangt de term lx+1l door een geschikte constante en behoudt de term lx-1l, omdat men die wil oplossen. Je kunt dan aannemen delta1.
Waarom mag je dit zomaar aannemen?

En het volgende begrijp ik ook niet:
als lx-1ldellta1, dan -1x-11. Bepaal x door bij alles 1 op te tellen: 0x2.
Dan: 1lx+1|3.
Hoe kom je aan 1lx+1|3?

Deze stappen kan ik niet volgen.

Alvast bedankt,

Lisi

Lisi
Iets anders - maandag 17 januari 2011

Antwoord

De keuze van d1 is betrekkelijk arbitrair. De gedachte er achter is:
we willen x steeds dichter naar 1 laten gaan. Het is dus toelaatbaar om te veronderstellen dat de afstand van x tot 1 kleiner dan 1 is, ofwel | x-1|1.
Maar er had net zo goed voor |x - 1| 2 of | x - 1| 0.5 gekozen kunnen worden. Misschien is het zinvol om de tekst waaruit je dit haalt uitvoeriger op te sturen zodat de redenering van de schrijver(s) beter te volgen is.

Wat je tweede vraag betreft: je hebt staan dat 0x2 en als je nu overal 1 bijtelt, wordt dat 1x+13.
Hier staan dus 3 positieve getallen op een rij, mooi in volgorde van klein naar groot. Absoluutstrepen rond positieve getallen doen niet erg veel, toch? Vergelijk maar eens 1 2,6 3 met |1| |2,6| |3|
Die grap gaat niet goed met negatieve getallen!
Uit -5 -2 1 volgt niet |-5| |-2| |1|

MBL
maandag 17 januari 2011

©2001-2024 WisFaq