\require{AMSmath}

Eigenfuncties van integraalvergelijkingen

Beste wisfaq,

Ik heb de volgende integraalvergelijking

f(x)=(x²)+k·INT[1+5xt]dt van 0 tot 1.

De integraalkern is K(x,t)=1+5xt en is separabel.
k is hier een karakteristieke waarde.

Ik wil de convergentiestraal bepalen van de Neumannreeks (als functie van k). Maar de Neumannreeks moet niet uitgerekend worden. Ik begrijp niet hoe ik dit moet doen.

Neumannreeks: SOM[(kⁿ)·(Kⁿ)]=(id-k·K)^-1, de som is oneindig en id is de identieke afbeelding van een Hilbertruimte H naar H.

Ik heb in ieder geval de eigenwaarden bepaald, de karakteristieke waarden k zijn hier dan de inverses van.

We kunnen de kern schrijven als

K(x,t)=g1(t)·h1(x)+g2(t)·h2(x)=1·1+5t·x.

A is de matrix met elementen

g_i,h_q=INT[g_i(t)·h_q(t)]dt, van 0 tot 1.

Dus a₁1=1, a₁2=1/2, a₂1=5/2 en a₂2=5/3.

Het karakteristiek polynoom is hier
det(A-k·I)=p(k)=(k²)-(8/3)k+5/12. De eigenwaarden zijn dus
m1=(4/3)+¹/₃sqrt(6) en m2=(4/3)-¹/₃sqrt(6).

De karakteristieke waarden zijn dus k1=(m1)^-1 en k2=(m2)^-1.

Vraag1: Kan ik nu al met deze informatie de convergentiestraal bepalen?

Ik wil ook de eigenfuncties bepalen omdat ik dan deze integraalvergelijking op kan lossen, maar ik stuit hierbij op problemen:

Ik wil oplossen B1=[A-m1·I|0], dit is de matrix met elementen b11=(-1/3-¹/₃sqrt(6)), b12=1/2, b21=5/2 en b22=¹/₃-¹/₃sqrt(6).
Het lukt mij niet om deze matrix in zo'n vorm te brengen dat ik overhoudt b11=1, b12=c (een constante), b21=b22=0, zodat mijn eigenvector (hier horizontaal geschreven) gelijk is aan v=r[-c,1] voor een scalar r. Dus ik heb het stelsel uitgeschreven dat ik moet oplossen:

(-1-sqrt(6))x₁+(3/2)x₂=0 vergelijking (1)
(15/2)x₁+(1-sqrt(6))x₂=0 vergelijking (2).

Maar uit (1) volgt dat x₁=(-3/10)(1-sqrt(6))x₂, dit substitueren in (2) geeft dat x₂ nul moet zijn, waaruit weer volgt dat x₁ ook nul is.

Vraag2: Maak ik hier nu een fout of is de enige eigenvector hier de nulvector?

Groeten,

Viky

Viky
Student universiteit - maandag 27 december 2010

Antwoord

Je integraalvergelijking ziet er onvolledig uit: de functie f is aan de rechterkant afwezig. Het feit dat je de matrix A en zijn eigenwaarden bepaald hebt suggereert dat er een stelling in je boek staat waarmee je uit die eigenwaarden de convergentiestraal kunt halen; ik zou die nog eens goed lezen.
Verder kloppen je eigenwaarden niet: ik kom op 15/6 en 1/6.

kphart
dinsdag 28 december 2010

Re: Eigenfuncties van integraalvergelijkingen

©2001-2024 WisFaq