\require{AMSmath}

Sommatie oneindige rij getallen

¥
å= 1 ¸ ((n+1) (n+3))
n=1

Wie kan mij helpen bij de bepaling van deze sommatie?

Blaise
Student universiteit - maandag 20 december 2010

Antwoord

Hallo, Blaise.

Dit is een zogenaamde telescoopreeks.
De clou is dat 1/((n+1)(n+3)) gelijk is aan ¹/₂(1/(n+1)-1/(n+3)).

Dus de oneindige som is
¹/₂·å(1/(n+1) - 1/(n+3)) =
¹/₂·(¹/₂ - ¹/₄ + ¹/₃ - ¹/₅ + ¹/₄ - ¹/₆ + ¹/₅ - ¹/₇ + ¹/₆ - ¹/₈ + ....).

Je ziet dat bijvoorbeeld -¹/₄ en +¹/₄ tegen elkaar weggestreept kunnen worden, maar ook -¹/₅ en +¹/₅ en ... ,etc.
Als je goed kijkt zie je dat uiteindelijk bijna alle termen tussen de laatste twee haakjes weggestreept kunnen worden, alleen ¹/₂ en ¹/₃ niet.

Er blijft dus over ¹/₂·(¹/₂ + ¹/₃) = ⁵/₁₂.

hr
maandag 20 december 2010

©2001-2024 WisFaq