Vraag uit de nationale wetenschapsquiz. Een groep van 5 personen trekt lootjes voor sinterklaasavond. Als ze het jaar daarop met 10 personen trekken:
A twee keer zo vaak trekken zodat niemand zich zelf heeft B wortel twee keer zo vaak trekken C even vaak trekken?
jan oo
Iets anders - zaterdag 4 december 2010
Antwoord
Voor niet te grote n kun je de kwestie voor n personen onderzoeken met het volgende pascalprogramma (om html-redenen heb ik de rechte haken hieronder vervangen door ronde):
program lootjestrekken; var n,k,i,j,m:integer; t,a,soma:real; p:array[1..12] of integer; klaar,geldigetrekking,niemandzichzelf:boolean; begin writeln('Hoeveel personen? (minstens 2 en hoogstens 12)'); readln(n); soma:=0; t:=0; while true do begin t:=t+1; a:=0; klaar:=false; repeat for k:=1 to n do p(k):=random(n)+1; geldigetrekking:=true; for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if p(i)=p(j) then geldigetrekking:=false; if geldigetrekking then begin a:=a+1; niemandzichzelf:=true; for m:=1 to n do if p(m)=m then niemandzichzelf:=false; if niemandzichzelf then klaar:=true; end until klaar; soma:=soma+a; writeln(soma/t:13:5) end end.
Als je dit pascalprogramma runt, dan lijkt de output zich voor iedere n vanaf 4 of 5 te stabiliseren op 2.7... Dit doet denken aan de wiskundige constante e=2.71828... Ik heb eerst gegoogled met zoekwoordenreeksen als "lottery e=2.7" en zo, maar niets bruikbaars gevonden. Bij googelen met "sinterklaas constante e=2.71828" vond ik een verwijzing naar een site van de befaamde wiskundemeisjes, waaruit ik opmaak dat de kans dat niemand zichzelf trekt nadert naar 1/e als n nadert naar oneindig. Bingo!
Het antwoord voor de wetenschapsquiz is dus C: (gemiddeld ongeveer) even vaak trekken.
PS Ik heb het verwachte aantal trekkingen berekend voor n= 4 en n=5: uitkomsten 8/3 en 30/11 resp. Dat is allebei al ongeveer e. Voor n=10 heb ik het nog niet gedaan, dat vereist wat meer (tel)werk.
PS2 Doorgoogelen leert dat het hier draait om permutaties zonder vaste punten, de zogenaamde derangements. Zie http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement . Voor n=10 is de precieze uitkomst 3628800/1334961. Dat wijkt nog minder af van e.
