\require{AMSmath}

Het vormen van een commissie

Uit een groep van 12 personen zijn er 7 candidaat om een commissie van 4 personen te vormen. Elk van de 12 personen moet dus uit een lijst van 7 personen er 4 personen uitkiezen. Wat is de kans dat 8 personen dezelfde 4 namen kiezen?

Erik G
Iets anders - donderdag 25 november 2010

Antwoord

Ik neem aan dat elke kandidaat door elke stemgerechtigde met dezelfde kans (4/7) wordt aangewezen, ook als de stemgerechtigde kandidaat is. Een kandidaat wijst dus ook met kans 4/7 zichzelf aan.

Er zijn (7 boven 4)=35 mogelijke commissies van vier personen.
Voor elke mogelijke commissie is de kans dat minstens acht personen deze commissie kiezen:

(12 boven 12)·(1/35)¹²+(12 boven 11)·(1/35)¹¹·(34/35)+(12 boven 10)·(1/35)¹⁰·(34/35)²+(12 boven 9)·(1/35)⁹·(34/35)³ +(12 boven 8)·(1/35)⁸·(34/35)⁴.

Omdat er minder dan twee keer acht personen meestemmen, is het niet mogelijk dat twee verschillende commissies allebei door minstens acht personen gekozen worden.
De kans dat minstens acht personen eenzelfde commissie kiezen is dus 35 keer zo groot als de kans dat minstens acht personen een bepaalde commissie kiezen, dus:

35·((12 boven 12)·(1/35)¹²+(12 boven 11)·(1/35)¹¹·(34/35)+(12 boven 10)·(1/35)¹⁰·(34/35)²+(12 boven 9)·(1/35)⁹·(34/35)³ +(12 boven 8)·(1/35)⁸·(34/35)⁴).

Gebruik een tabel voor de binomiale verdeling of (de driehoek van Pascal en een rekenmachine) om dit verder uit te rekenen.

NB Stel dat een kandidaat niet op zichzelf mag stemmen en dat verder niemand een speciale voorkeur heeft.
Als op een bepaalde commissie dan minstens acht keer gestemd wordt, kan dat op slechts één manier: door de vijf nietkandidaten en de drie kandidaten die niet in de commissie zitten. De kans dat dat gebeurt is dan (1/15)³(1/35)⁵ (want een kandidaat heeft dan de keuze uit 15 commissies).
De kans dat er een of andere commissie gekozen wordt door acht stemmers is dan nog 35 keer zo groot.

hr
donderdag 25 november 2010

©2001-2024 WisFaq