Ik heb de volgende operator T:H-C gegeven door T(x)=SOM[(xn)/n], van n=1 tot oneindig.
C zijn de complexe getllen. H is de Hilbertruimte l2(C) van rijtjes x=(x1,x2,...) met xi een element in C, het inwendig product in H wordt gegeven door x,y=SOM[(x'n)·(yn)], van n=1 tot oneindig. Notatie: x'n staat voor de geconjugeerde van xn.
Ik wil graag de norm bepalen van de operator T m.b.v. de volgende definitie
||T||_H=sup ||T(x)||_C, waarbij de norm wordt genomen over alle x=(x1,x2,..) in H met ||x||_H=1.
Ik ben vastgelopen in de afschatting van ||T(x)||. Ik ben eerst gaan kijken wat het betekent als ||x||=1. Er geldt dat
||x||2=x,x=SOM[(x'n)·(xn)], dus ik moet kijken naar alle x in H zodat SOM[|xn|2]=1. Is dit correct?
Nu ga ik ||T(x)|| afschatten, x=(x1,x2,...), xi in C:
||T(x)||_C=||SOM[(xn)/n]=||x1+1/2x2+..||
Nu weet ik niet zeker hoe ik verder moet en hoe ik ||x|| kan gebruiken bij de afschatting. Ik denk dat ik x1+1/2x2+... moet schrijven als SOM[(ak)/k]+i·SOM[(bk)/k], waar dus (xk)/k=(ak)+i·(bk). Dan krijg ik
||T(x)||=||SOM[(ak)/k]+i·SOM[(bk)/k]||.
Dit is een norm in C, er staat eigenlijk ||A+i·B||, met A=SOM[(ak)/k] en B=SOM[(bk)/k].
De norm in C van van een complex getal a+i·b is (a2+b2)^1/2. Dus in mijn geval krijg ik ||A+i·B||=(A2+B2)^1/2. Ik begrijp niet hoe ik nu verder moet?
Vriendelijke groeten,
Viky
Viky
Student universiteit - woensdag 22 september 2010
Antwoord
Het lijkt mij dat T de functionaal is bepaald door het element (1,1/2,1/3,1/4,...) van H; in dat geval is de norm van T hetzelfde als de norm van dat die vector en die is p/wortel(6).
C gegeven door 
x,y