het is mogelijk om op 2d (papier), een schets te maken van iets van 3d, door te gebruik te maken van een verdwijnpunt. is het dan niet mogelijk om in 3d een schets te maken van iets in 4d? en is dit ooit gedaan?
bij voorbaat dank
Jelmer
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 25 augustus 2010
Antwoord
1) Projectie vanuit een oneindig ver oog op een tableau loodrecht op de kijkrichting: Kies coördinaten zo dat het oog zich bevindt in (x,y,z,w)=(0,0,0,¥), en het tableau de (x,y,z)-ruimte w=0 is. (Identificeer (x,y,z,0) met (x,y,z)). Dan wordt het punt (a,b,c,d) geprojecteerd op (a/d,b/d,z/d), dus de punten l(s,t,u,1) worden allemaal geprojecteerd op (s,t,u). U kunt dit bijvoorbeeld doen met als tafereel de punten op een vierdimensionale hyper-bol met vergelijking x2+y2+z2+w2=1: neem de punten (x,y,z,w) = (p/10,q/10,r/10,Ö(1-(p/10)2-(q/10)2-(r/10)2) met p,q,r Î {-10,-9,...,9,10} waarbij (p/10)2+(q/10)2+(r/10)2 hoogstens 1 is, en hang de punten (x/w,y/w,z/w) als rode kralen in een glazen kubus die voorzien is van x-as, y-as en z-as (bv een leeg aquarium). U krijgt dan een indruk van de geprojecteerde hyper-bol. (Als u minder tijd hebt, kunt u ook volstaan met minder punten: vervang 10 door 4 en {-10,-9,...,9,10} door {-4,-3,...,3,4}. Het beeld wordt dan wel een stuk waziger.)
2) Projectie vanuit een eindig ver oog op een tableau loodrecht op de kijkrichting; Kies coördinaten zo dat het oog zich bevindt in (x,y,z,w)=(0,0,0,t), en het tableau de (x,y,z)-ruimte w=0 is. U vindt het beeld van (a,b,c,d) onder de projectie door de verbindingslijn van (a,b,c,d) met (0,0,0,t) te snijden met w=0. De projecterende lijn heeft parametrizering (0,0,0,t) + l(a,b,c,d-t) en het beeldpunt met w=0 vind je dus met l = t/(t-d). Wil je alleen punten afbeelden die zich vóór het oog bevinden, neem dan alleen punten met d kleiner dan t.
Veel succes, Jelmer!
PS1: Als het aquarium te klein is, kunt u de schaal van de assen aanpassen (en nogmaals ...), of een groter aquarium nemen (of uw kamer, of ...)
PS2: Het is misschien interessant te kijken naar het beeld van een deel van de hyper-bol, bijvoorbeeld het deel dat gelegen is in het hyper-vlak x+y+z+w=0.
