\require{AMSmath}

De oppervlakte en inhoud van een tetraëder

Ik had nog een aantal vragen over het berekenen van de oppervlakte van bijvoorbeeld de tetraëder. Hoe berekenen ze de hoogtelijn dmv pythagoras? Er moet ¹/₂a3 uitkomen....
Als je het grondvlak hebt berekend kan je de inhoud uitrekenen? Als grondvlak kwam ik uit op: 1/4a²3. Hoe reken je dan ¹/₂a3·1/4a²3·1/3 uit? Klopt het dat dit 1/12a³3 wordt? Alvast heel erg bedankt!

Karin
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 25 februari 2003

Antwoord

De lengte van de ribben van zo'n tetraëder is a.
De vraag is dan:
1. Hoe bereken je de oppervlakte?
2. Hoe bereken je de inhoud?

Eerst maar eens een tekening:



1.
Laten we eerst eens naar het 'grondvlak' ABC kijken:



h=Ö(a²-(¹/₂a)²)=Ö(³/₄a²)=¹/₂aÖ3
De oppervlakte van deze gelijkzijdige driehoek is dan:
Opp.=¹/₂·a·¹/₂aÖ3=¹/₄·a²·Ö3
Dus de oppervlakte van de tetraëder is 4·¹/₄·a²·Ö3=a²·Ö3
..en dat is toch aardig...

2.



De hoogte h kunnen we berekenen in DPST. PT=¹/₂aÖ3 (zie boven) en ST=h. Nu nog PS berekenen. Met behulp van het gegeven dat DABQ gelijkvormig is met DASP (ga na!) kan je PS berekenen.
PS=¹/₆·a·Ö3

h=Ö(PT²-PS²)=Ö((¹/₂aÖ3)²-(¹/₆aÖ3)²)=¹/₃aÖ6

Dus de inhoud van het tetraëder wordt:
I=¹/₃·¹/₄a²Ö3·¹/₃a6=¹/₁₂·a³·Ö2

WvR
donderdag 27 februari 2003

©2001-2024 WisFaq