Hoe kan ik het aantal homomorfismen van C10 $\to$ D5 berekenen, oftewel #Hom(C10,D5). En hoe kan ik #Hom(D5,C10) berekenen?
Uiteraard is C10 de cyclische groep met 10 elementen en D5 de dihedrale groep.
Bedankt...
Rik
Student universiteit - maandag 17 mei 2010
Antwoord
Hallo, Rik.
Bekijk eerst de groepen C10 en D5.
C10 wordt voortgebracht door een element a van orde 10, en bestaat verder uit de machten van a: a,a3,a7 en a9 van orde 10; a2,a4,a6 en a8 van orde 5; a5 van orde 2; neutraal element e van orde 1.
D5 is de groep van symmetrieën van de regelmatige vijfhoek, en wordt voortgebracht door een draaiing S van orde 5 en een spiegeling T van orde 2. Er geldt ST = TS4 (voortbrengende relatie). De groep bestaat uit: de draaiingen S,S2,S3,S4, elk van orde 5; de spiegelingen T,ST,S2T,S3T en S4T, elk van orde 2; het neutraal element E van orde 1.
De homomorfismen worden bepaald door hun werking op de voortbrengende elementen, waarbij de orde van het beeld van een element een deler moet zijn van de orde van het element.
Dus een homomorfisme j van C10 naar D5 ligt vast door j(a), en de orde van j(a) moet een deler van 10 zijn. Dit is de enige beperking, dus j(a) kan elk element van D5 zijn. Er zijn dus tien verschillende homomorfismen van C10 naar D5.
Een homomorfisme q van D5 naar C10 ligt vast door q(S) en q(T), waarbij de orde van q(S) een deler van 5 moet zijn (dat is de orde van S), en de orde van q(T) een deler van 2 (dat is de orde van T). Er zijn dan voor q(S) vijf mogelijkheden, namelijk: a2,a4,a6,a8 en e; voor q(T) zijn er twee mogelijkheden, namelijk: a5 en e. In totaal zijn er dan voor het bepalend paar q(S),q(T) vijf keer twee mogelijkheden, dus dat is toevallig ook tien. Echter, pas op, hier geldt nog de extra beperking dat q(S)q(T) gelijk moet zijn aan q(T)q(S)4. Er zijn slechts twee verschillende homomorfismen van D5 naar C10.
