\require{AMSmath}

Kenmerken van vierdegraadsfuncties?

Voor ons Wiskunde D PO moeten wij vierdegraadsfuncties behandelen. Graag willen wij uitleggen wat de verschillende kenmerken zijn van een vierdegraadsfunctie en wat de verschillende variabelen in de volgende formule doen:
f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e

Wat wij wel al weten:
a geeft de breedte van de grafiek en of het een berg of dal is:
a0, dal
a0, berg
f'(x) = 0 geeft de toppen van f(x)
f''(x) = 0 geeft de buigpunten van f(x)

Zou iemand ons hiermee kunnen helpen?

Alvast bedankt!

Jaap
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 16 april 2010

Antwoord

Hallo, Jaap.

Stel f(x) = a·g(x) met g(x) = x⁴+px³+qx²+rx+s.
We kijken eerst naar de kenmerken van g(x), en wat p,q,r,s hier doen.
Vervolgens betekent vermenigvuldigen met a, inderdaad, de grafiek in de lengte (dwz in de richting van de y-as) vermenigvuldigen met |a| en daarna spiegelen in de x-as als a0.

Stel g(x) = h(x) + s, met h(x) = x⁴+px³+qx²+rx.
We kijken eerst naar de kenmerken van h(x), en wat p,q,r hier doen.
Vervolgens betekent vermeerderen met s een verschuiving (translatie) over afstand |s|, in de richting (0,1) van de positieve y-as als s0 en in de tegenovergestelde richting als s0.

De afgeleiden van de functies g(x) en h(x) zijn gelijk, en wel
g'(x) = h'(x) = 4x³+3px²+2qx+r.
De nulpunten van g'(x) zijn precies die van f '(x) = ag'(x) (tenzij a=0, wat niet de bedoeling is). Aangezien een derdegraadsfunctie ofwel 1 ofwel 3 tekenwisselingen heeft, heeft f(x) ofwel 1 ofwel 3 toppen.

De tweede afgeleide van f(x) is
f "(x) = ag"(x) = ah"(x) = 12x²+6px+2q.
Een tweedegraadsfunctie heeft 0 of 2 tekenwisselingen, dus f(x) heeft 0 of twee buigpunten.

Ik weet niet hoever de analyse moet gaan.
Nog dit:
Als f(x) vier reële nulpunten x₁ en x₂ en x₃ en x₄ heeft, dan is
f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)(x-x₄).
Werkt men nu het rechterlid uit, dan vindt men
-p = x₁ + x₂ + x₃ + x₄,
q = x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄,
-r = x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₃x₄ + x₂x₃x₄,
s = x₁x₂x₃x₄.

Teken eens de mogelijke grafieken van tweede-, derde- en vierdegraadsfuncties in verband met de mogelijke aantallen tekenwisselingen en toppen.
Zie je ook verband tussen het aantal toppen van de grafiek van een vierdegraadsfunctie en de mogelijke aantallen buigpunten?

hr
vrijdag 23 april 2010

©2001-2024 WisFaq