\require{AMSmath}

Methode zij-vierkanten van hyperkubussen bepalen

Hallo, ik wil het aantal zij-vierkanten op hyperkubussen bepalen. Bijvoorbeeld de 4-kubus heeft 24 zij-vierkanten, dat kan ik makkelijk voor me zien en gewoon tellen. Maar ik zou niet weten hoe ik daar een logische methode voor zou kunnen verzinnen.
In hogere dimensies wordt het tellen ook lastig.
bij voorbaat dank

Jacque
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 27 maart 2010

Antwoord

Hallo, Jacques.

Een n-kubus heeft 2ⁿ hoekpunten: de rijtjes nullen en enen van lengte n.
Een zijvierkant wordt gevormd door vier van deze punten mits elk van de vier twee buren op afstand 1 heeft in het kwartet.
Uitgaande van een hoekpunt vind je een hoekpunt op afstand 1 door één 0 in een 1 te veranderen of vice versa.
Dus bij elke twee van de n posities vind je 2^n-2 van die vierkanten: de coördinaten op die twee posities liggen vast (namelijk 00 en 01 en 10 en 11), en bij elke invulling van de andere n-2 posities vind je dan een zijvierkant.
Het totaal aantal zijvierkanten is dan (n boven 2)ˇ2^n-2.
Voor n=4 vind je er dan inderdaad 24, voor n=3 vind je er 6 en voor n=2 vind je er 1.

(Men kan ook het aantal vierkanten tellen met zijden van lengte Ö2, etc., maar dat zijn geen zij-vierkanten.)

hr
dinsdag 30 maart 2010

©2001-2024 WisFaq