Ik moet laten zien dat voor ieder tweetal groepen G1 en G2 de productverzameling G=G1xG2 onder de componentgewijze bewerking (g1,g2)·(g1',g2')=(g1g1',g2g2') een groep wordt, de productgroep.
Eerst aantonen dat deze verzameling een bewerking heeft want g1,g1' zitten in G1 dus g1·g1' zitten ook in G1 g2,g2' zitten in G2 dus g2·g2' zitten ook in G2 er is dus een bewerking.
Nu de drie groepsaxioma's aantonen voor (g1,g2)·(g1',g2')=(g1g1',g2g2') G1) eenheidselement (g1,g2)·e=(g1,g2) dus eenheidselement is (1,1) hetzelfde ook voor (g1',g2')·e=(g1'·g2') dus eenheidselement is (1,1) G2) assosiatief (a·b)·c=a·(b·c) ((a1,a2)·(b1,b2))·(c1,c2)=(a1,a2)·((b1,b2)·(c1,c2)) (a1b1,a2b2)(c1,c2)=(a1,a2)(b1c1,b2c2) (a1b1c1,a2b2c2)=(a1b1c1,a2b2c2) hetzelfde geldt ook voor ((a1',a2')·(b1',b2'))·(c1',c2')=(a1',a2')·((b1',b2')·(c1',c2')) G3) inverse a·b=e (a1,a2)·(b1,b2)=(1,1) (a1b1,a2b2)=(1,1) (b1,b2)=(a1-1,a2-1) dus de inverse is (a1-1,a2-1) dus er is hier sprake van een productgroep
klopt dit allemaal? heel erg bedankt! groetjes
Jip
Student universiteit - dinsdag 9 maart 2010
Antwoord
Ja, wat je doet klopt: je moet (in principe) wel nog vermelden dat je gebruik maakt van het feit dat G1 en G2 groepen zijn, zodat je de groepsstructuur van beide groepen op triviale wijze overbrengt op het cartesisch product. Wel zou ik in je notatie voor het eenheidselement duidelijk verwijzen aan welke groep je refereert, en zo bijvoorbeeld het eenheidselement van G1 aanduiden met e1, en het eenheidselement van G2 aanduiden met e2. Met deze notatie is het eenheidselement van G1 x G2 dan gelijk aan (e1,e2). (Wat jij doet, namelijk voor beide groepen de notatie 1 gebruiken, is zeker niet verkeerd, maar kan mogelijk voor verwarring zorgen, omdat je zou kunnen gaan denken dat deze elementen 'hetzelfde' zijn.)
