Is het mogelijk om aan de hand van het snijpunt met de y-as (A), een van de snijpunten van de x-as (B), een raaklijn (AB') die evenwijdig is aan lijn AB, en de wetenschap dat de parabool een bergparabool is, de formule van de parabool op te stellen? Zo ja, hoe dan?
Yannic
Student universiteit - zondag 18 oktober 2009
Antwoord
Stel A(0,a) en B(b,0) zijn gegeven. Ik neem aan dat A en B verschillend zijn, anders zou men niet kunnen spreken van de lijn AB. Omdat een bergparabool niet door twee punten van de y-as kan gaan is b¹0. De lijn AB heeft dus richtingscoëfficiënt -a/b. U duidt de gegeven raaklijn aan met AB', maar dat is fout, want het zal niet de bedoeling zijn dat hij door A gaat (en dat zou ook niet kunnen). Daar de gegeven raaklijn evenwijdig is aan AB, heeft hij vergelijking y = (-a/b)x + c, waarbij ook c gegeven is of uit de gegevens kan worden afgeleid. Uit het gegeven dat we met een bergparabool te maken hebben, volgt dat deze een vergelijking heeft van de vorm y = rx2 + sx + t , met kopcoëfficiënt r negatief, waarbij r, s en t nader bepaald moeten worden. De vraag is nu of r, s en t eenduidig in a,b,c kunnen worden uitgedrukt, en, zo ja, hoe?
Welnu: Omdat de parabool door (0,a) gaat, is a = r*02 + s*0 + t, dus t = a. Omdat de parabool door (b,0) gaat, is 0 = r*b2 + s*b + t, dus s= (-r*b2 - t)/b = (-r*b2 - a)/b. De raaklijn in een punt (x,y) van de parabool heeft richtingscoefficient dy/dx = 2rx+s. Door dit gelijk te stellen aan -a/b kan men x uitdrukken in a,b,s,r en daarna in a,b en r. Er komt x = b/2. Nu kan men de bijbehorende y van het raakpunt (x,y) op twee manieren uitdrukken in a,b,c,r,s,t en dus ook in a,b,c,r: 1) mbv de vgl van de parabool, en 2) mbv de vgl van de raaklijn. Door de twee uitkomsten gelijk te stellen, kan men eerst r uitdrukken in a,b,c, en daarna s uitdrukken in a,b,c. Nu moet de gegeven c wel zodanig zijn dat r negatief is, anders zijn de gegevens strijdig.
