\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 60470

Re: Re: Volkomen kwadraten

Wie zou dan dat diepzinnig getaltechnisch verhaal eens kunnen of willen op papier zetten voor mij?

Rik Le
Iets anders - woensdag 14 oktober 2009

Antwoord

Dag Rik.

Ik zal eerst je oorspronkelijke vraag maar even herhalen, anders snapt niemand meer waarover het gaat.

Dag wisfaq,
A en B stellen 2 positieve gehele getallen met 3 cijfers voor. Vorm nu ook het getal C met 6 cijfers door A en B, in deze volgorde, naast elkaar neer te schrijven.
Bepaal nu A en B zo dat A, B, B-A, C en C/B allemaal volkomen kwadraten zijn. Kan iemand mij helpen?

Leuke vraag eigenlijk wel.
Er is meer dan 1 paar A en B dat voldoet aan de eisen en niet alleen het gegeven antwoord A=225 en B=625.
Laten we eens kijken hoe je enigszins systematisch tot een antwoord kunt komen.
Snap je dat C=1000A+B en dat dus C/B=(1000A+B)/B=1000·(A/B)+1?
En dat als C/B een kwadraat is dat C dat automatich ook is?

Noemen we A=p² en B=r², dan volgt uit het gegeven dat B-A een kwadraat is dat B-A te schrijven is als B-A=q² en dat dan geldt p²+q²=r²
Dus p,q en r vormen een Pythagoreisch drietal.
Als p en r een gemeenschappelijke factor f hebben dan hebben p², q² en r² een gemeenschappelijke factor f².

Voor het gemak stellen we nu: p=f·m, en r=f·n zodanig dat m en n geen gemeenschappelijke factor hebben.

Dus A=f²m² en B=f²n² en B-A=f²(n²-m²).
Vullen we dit nu in in C/B=1000·(A/B)+1 dan krijgen we C/B=1000m²/n²+1.
Wil dit überhaupt een geheel getal opleveren dan moet n² een deler zijn van 1000, immers m en n hebben geen gemeenschappelijke factor.
Dus n²=1,4,25 of 100.
Verder geldt AB dus mn en daarmee valt n²=1 al af.
n²=4 en m²=1 valt af omdat 4-1 geen kwadraat is
n²=25 combineren met m²=1,4,9 of 16:
25-1=24, geen kwadraat
25-4=21, geen kwadraat
25-9=16: kwadraat
25-16=9: kwadraat
Laten we deze twee eens verder gaan onderzoeken.
m²=9 en n²=25 levert C/B=1000·9/25+1=361=19²
m²=16 en n²=25 levert C/B=1000·16/25+1=641 en dat is geen kwadraat.

Goed,
n²=25 en m²=9.
Dus A=9f² en B=25f² en 100A,B999.
f²=16 levert A=144 en B=400
f²=25 levert A=225 en B=625
f²=36 levert A=324 en B=900.

n²=100 laat ik aan je eigen fantasie over maar ik geloof niet dat dat nog nieuwe oplossingen geeft. (Bedenk wel dat m en n geen gemeenschappelijke factor mogen hebben).

hk
donderdag 15 oktober 2009

©2001-2024 WisFaq