Bepalen de vectoren {e1, e2, e3} en {f1, f2, f3} dezelfde orientatie? e1 = (2,6,5) e2 = (3,0,6) e3 = (2,-1,4) f1 = (2,3,5) f2 = (-1,2,-2) f3 = (-3,8,-2)
komt het er op aan van det(e1 e2 e3) en det(f1 f2 f3) te berekenen en te kijken of ze hetzelfde teken hebben of is dit niet de correcte werkwijze?
Roel D
Student universiteit België - woensdag 18 december 2002
Antwoord
Hoi,
Dit was effen denken... Drie 3D vectoren bepalen een 'positieve' oriëntatie als de kurketrekker-regel van toepassing is: drie vinders op linkerhand: duim, middelvinger en wijsvinger geven positief geöriënteerde set van 3 3D vectoren weer. Als de 3de vector tegengesteld gericht is, dan spreken we over 'negatief' geörienteerd.
Nuttige eigenschappen van vectoren: scalair product: a.b=|a|.|b|.cos(a,b) vector product: a x b = c waarbij c bepaald wordt met de kurketrekker-regel en de grootte gelijk is aan |a|.|b|.sin(a,b). Je kan afleiden dat c gegeven is door det ([e a b]) waarbij e=(ex, ey, ez), a en b als rijvectoren voorgesteld zijn.
Om te bepalen of 3 vectoren u, v, w een positieve oriëntatie hebben, kunnen we w'=u x v bepalen en kijken of w in dezelfde richting of in de tegengestelde richting wijst als w'. Dit laatste bepalen we door de hoek q tussen w en w' te bepalen. Voor q<p/2 wijzen ze in dezelfde richting voor q>p/2 in tegengestelde richting en voor q=p/2 zullen u, v en w lineair afhankelijk zijn. Dit laatste kunnen we uitsluiten. Voor de normale gevallen kunnen we de oriëntatie dus bepalen met c=cos(q)=w.w'/(|w|.|w'|). c>0 is een positieve oriëntatie, c0 een negatieve. Omdat |w| en |w'| strikt positief zijn, volstaat het dus om het teken van w.(u x v) te bepalen. Je rekent na dat dit overeenkomt met het teken van det(w u v)=det(u v w) (w, u en v als rijvectoren).
0 een negatieve. Omdat |w| en |w'| strikt positief zijn, volstaat het dus om het teken van w.(u x v) te bepalen. Je rekent na dat dit overeenkomt met het teken van det(w u v)=det(u v w) (w, u en v als rijvectoren). 