ik zit met de volgende opgave: stel dat een pistool op een eenheid afstand van een lange (oneindige) muur geplaatst is en roteert met constante snelheid. Een keer per omwenteling, op een willekeurig moment in de tijd, wordt het pistool afgevuurd.
Wat is dan de kansverdeling(P(x)) van schoten op de muur?
(Ik zie zelf niet hoe ik een beginnetje moet maken hiermee)
Groetjes!
Samuel
Student universiteit - zondag 6 september 2009
Antwoord
Hallo, Samuel.
Stel dat het pistool gesitueerd is in (0,0,0) en in 1 tijdseenheid 1 omwenteling maakt in het vlak z=0, en dat de muur ligt in het vlak y=1. De loop wijst na t tijdseenheden in de richting (cos(2$\pi$t),sin(2$\pi$t),0). Stel dat het schot met volgnummer k$\in\mathbf{N}$ valt op t=random(0,1). Alleen indien t$\in$(0,1/2) zal de kogel de muur raken, en wel in het punt (cot(2$\pi$t),1,0), dus in het punt met x=cot(2$\pi$t). Dus 1-2t=1-arccot(x)/$\pi$) is uniform verdeeld op (0,1), en t¯0 correspondeert met x$\to\infty$ en 1-2t1, en t1/2 met x$\to$-$\infty$ en 1-2t¯0. Dit is dan de verdelingsfunctie F(x) van x, x$\in$(-$\infty$,$\infty$). De kansdichtheidsfunctie f(x) krijgt men door differentiëren.
1, en t