\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 59917

Re: Handig uitrekenen van binominaalcoefficienten

Oke hierbij geef iku een voorbeeld:
(5 uit 10)+ (6 uit 10) + (7 uit 10) + (8 uit 10) + (9 uit 10) + (10 uit 10) = .......
Deze "lange" som kan je afbreken tot één korte som van: (2¹⁰- (..binominaalcoefficienten: bijv (5 uit 10)..)) / 2, of iets wat hierop lijkt, begrijp ik.
De som van,: (0 uit 8) + (1 uit 8) + (2 uit 8) + (3 uit 8)= ....., kan je namelijk afbreken tot: (2⁸ - (4 uit 8))/2 = 93
De laatstgenoemde methode om een serie van binominaalcoefficienten uit te rekenen werkt voor de som die ik bij de methode heb gegeven, maar niet voor alle sommen.(Alle sommen waar ik uiteraard óók gebruik maak van "mooie" collecties.
Tevens begrijp ik de werking van de laaststgenoemde methode niet, ik heb hem namelijk overgenomen uit mijn wiskundeboek.
Kunt u mij de werking/prencipe van de laatstgenoemde methode uitleggen? En waarom hij bijv. niet werkt bij: (5 uit 10)+ (6 uit 10) + (7 uit 10) + (8 uit 10) + (9 uit 10) + (10 uit 10) = (2¹⁰ - (10 uit 6)) / 2 = "407" komt hier uit terwijl de goede antwoord 638 is !
Gebruik ik de methode hier helemaal verkeerd of moet ik heb iets anders opstellen?

Ik hoop dat ik u hiermee genoeg heb geinformeerd en ik wacht uw antwoord af.

Musse
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 9 augustus 2009

Antwoord

Het antwoord zit een beetje in mijn vorige antwoord; we kijken even naar het geval (k uit 8). Als je ze bij elkaar optelt voor k=0 tot en met 8 krijg je 2⁸. Verder geldt (0 uit 8) = (8 uit 8), (1 uit 8) = (7 uit 8), ..., (k uit 8) = (8-k uit 9) (als je k uit 8 kiest, kies je ook 8-k uit 8, namelijk de rest; de aantallen manieren waarop je k uit 8 kan kiezen is gelijk aan het aantal voor 8-k uit 8).
Nu samen voegen: de totale som kun je splitsen: k=0,1,2,3; k=4; k=5,6,7,8.
Dus 2⁸= (4 uit 8) + som(k=0,1,2,3) + som(k=5,6,7,8) = (4 uit 8) + 2xsom(k=0,1,2,3) (dat laatste wegens de symmetrie die we gevonden hebben).
Nu volgt je formule voor som(k=0,1,2,3) makkelijk.
Als je (k uit 10) doet werkt deze methode als je splitst in som=(k=0,1,2,3,4), (5 uit 10) en som(k=6,7,8,9,10); dus als je na de helft van 10 begint.
Je som kun je als volgt uitrekenen, met behulp van de methode: (5 uit 10) + som(k=6,7,8,9,10) = (5 uit 10) + (2¹⁰-(5 uit 10)/2.

kphart
maandag 10 augustus 2009

©2001-2024 WisFaq