Gegeven een continue functie f:S-C.Met S de eenheidscirkel en C de complexe getallen.We hebben een vast gekozen parameter h0, en een functie gedefinieerd door
(G_h(f))(x):= (1/2*h)INT[f(x)]dx, de integraal loopt van x-h tot x+h.
De integratiegrenzen zijn modulo 2*pi.
Ik wil graag aantonen dat (G_h)(f) continu is op S en ik wil de Fouriercoëfficiënten van (G_h)(f) uitdrukken in termen van de Fouriercoëff'n van f.
1.Voor het gemak schrijf ik G als ik (G_h)(f) bedoel. Ik begrijp niet hoe ik moet aantonen dat G continu is.Moet ik een speciale stelling gebruiken?
2.De Fouriercoëff'n van f zijn
a_n=(1/L)INT[f(x)*e^(-2pi*inx/L)]dx, integraal van a tot b. Ik begrijp niet wat ik hier voor interval [a,b] moet nemen en daardoor weet ik ook niet wat L is, L=b-a.
Als ik eenmaal a_n heb gevonden dan kan ik schrijven
f(x)=SOM[a_n*e^(2pi*inx/L)] (som van -oneindig tot oneindig).
Vervolgens moet ik dit substitueren in de uitdrukking voor G, en vervolgens moet ik de Fouriercoëff'n van G bepalen.Is dit allemaal juist of is er een andere betere manier?
Groeten,
Viky
viky
Student hbo - maandag 27 juli 2009
Antwoord
1. Als niets helpt kun je altijd terugvallen op de definitie. Analyseer het verschil G(x)-G(y) maar eens; je zult zien dat de absolute waarde kleiner dan of gelijk is aan (M/h)|x-y|, waarbij M het maximum van |f(x)| is. 2. Aan de 2p in de e-macht te zien moet je L=1 hebben (en a=0 en b=1) omdat, blijkbaar, de cirkel met e2pix geparametrizeert wordt.
C.Met S de eenheidscirkel en C de complexe getallen.We hebben een vast gekozen parameter h